什么是基数估算
HyperLogLog 是一种基数估算算法。所谓基数估算，就是估算在一批数据中，不重复元素的个数有多少。
从数学上来说，基数估计这个问题的详细描述是：对于一个数据流 {x1，x2，...，xs} 而言，它可能存在重复的元素，用 n 来表示这个数据流的不同元素的个数，并且这个集合可以表示为{e1，...，en}。目标是：使用 m 这个量级的存储单位，可以得到 n 的估计值，其中 m<<n 。并且估计值和实际值 n 的误差是可以控制的。
对于上面这个问题，如果是想得到精确的基数，可以使用字典（dictionary）这一个数据结构。对于新来的元素，可以查看它是否属于这个字典；如果属于这个字典，则整体计数保持不变；如果不属于这个字典，则先把这个元素添加进字典，然后把整体计数增加一。当遍历了这个数据流之后，得到的整体计数就是这个数据流的基数了。
这种算法虽然精准度很高，但是使用的空间复杂度却很高。那么是否存在一些近似的方法，可以估算出数据流的基数呢？HyperLogLog 就是这样一种算法，既可以使用较低的空间复杂度，最后估算出的结果误差又是可以接受的。
HyperLogLog 算法简介
HyperLogLog 算法的基本思想来自伯努利过程。
伯努利过程就是一个抛硬币实验的过程。抛一枚正常硬币，落地可能是正面，也可能是反面，二者的概率都是 1/2 。伯努利过程就是一直抛硬币，直到落地时出现正面位置，并记录下抛掷次数k。比如说，抛一次硬币就出现正面了，此时 k 为 1; 第一次抛硬币是反面，则继续抛，直到第三次才出现正面，此时 k 为 3。
那么如何通过伯努利过程来估算抛了多少次硬币呢？还是假设 1 代表抛出正面，0 代表反面。连续出现两次 0 的序列应该为“001”，那么它出现的概率应该是三个二分之一相乘，即八分之一。那么可以估计大概抛了 8 次硬币。
HyperLogLog 原理思路是通过给定 n 个的元素集合，记录集合中数字的比特串第一个1出现位置的最大值k，也可以理解为统计二进制低位连续为零（前导零）的最大个数。通过k值可以估算集合中不重复元素的数量m，m近似等于 2^k。
如上图所示，给定一定数量的用户，通过 Hash 算法得到一串 Bitstring，记录其中最大连续零位的计数为 4，User 的不重复个数为 2 ^ 4 = 16。
1. 分桶优化
HyperLogLog 的基本思想是利用集合中数字的比特串第一个 1 出现位置的最大值来预估整体基数，但是这种预估方法存在较大误差，为了改善误差情况，HyperLogLog中引入分桶平均的概念，计算 m 个桶的调和平均值。下面公式中的const是一个修正常量。
Redis 中 HyperLogLog 一共分了 2^14 个桶，也就是 16384 个桶。每个桶中是一个 6 bit 的数组，如下图所示。
HyperLogLog 将上文所说的 64 位比特串的低 14 位单独拿出，它的值就对应桶的序号，然后将剩下 50 位中第一次出现 1 的位置值设置到桶中。50位中出现1的位置值最大为50，所以每个桶中的 6 位数组正好可以表示该值。
在设置前，要设置进桶的值是否大于桶中的旧值，如果大于才进行设置，否则不进行设置。示例如下图所示。
在计算近似基数时，就分别计算每个桶中的值，带入到上文将的 DV 公式中，进行调和平均和结果修正，就能得到估算的基数值。
Redis 中的 HyperLogLog
Redis 提供了 PFADD 、 PFCOUNT 和 PFMERGE 三个命令来供用户使用 HyperLogLog。
# 用于向 HyperLogLog 添加元素
# 如果 HyperLogLog 估计的近似基数在 PFADD 命令执行之后出现了变化， 那么命令返回 1 ， 否则返回 0
# 如果命令执行时给定的键不存在， 那么程序将先创建一个空的 HyperLogLog 结构， 然后再执行命令
pfadd key value1 [value2 value3]
# PFCOUNT 命令会给出 HyperLogLog 包含的近似基数
# 在计算出基数后， PFCOUNT 会将值存储在 HyperLogLog 中进行缓存，知道下次 PFADD 执行成功前，就都不需要再次进行基数的计算。
pfcount key
# PFMERGE 将多个 HyperLogLog 合并为一个 HyperLogLog ， 合并后的 HyperLogLog 的基数接近于所有输入 HyperLogLog 的并集基数。
pfmerge destkey key1 key2 [...keyn]
应用场景
HyperLogLog 主要的应用场景就是进行基数统计。这个问题的应用场景其实是十分广泛的。例如：对于 Google 主页面而言，同一个账户可能会访问 Google 主页面多次。于是，在诸多的访问流水中，如何计算出 Google 主页面每天被多少个不同的账户访问过就是一个重要的问题。那么对于 Google 这种访问量巨大的网页而言，其实统计出有十亿 的访问量或者十亿零十万的访问量其实是没有太多的区别的，因此，在这种业务场景下，为了节省成本，其实可以只计算出一个大概的值，而没有必要计算出精准的值。
对于上面的场景，可以使用HashMap、BitMap和HyperLogLog 来解决。对于这三种解决方案，这边做下对比：
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HashMap：算法简单，统计精度高，对于少量数据建议使用，但是对于大量的数据会占用很大内存空间； -
BitMap：位图算法，具体内容可以参考我的这篇文章，统计精度高，虽然内存占用要比HashMap少，但是对于大量数据还是会占用较大内存； -
HyperLogLog：存在一定误差，占用内存少，稳定占用 12k 左右内存，可以统计 2^64 个元素，对于上面举例的应用场景，建议使用。