1谓词
1.1引入
在研究命题逻辑中，原子命题是命题演算中最基本的单位，不再对原子命题进行分解，这样会产生两大缺点：
（1）不能研究命题内部的结构，成分和内部逻辑的特征；
（2）也不可能表达两个原子命题所具有的共同特征，甚至在命题逻辑中无法处理一些简单又常见的推理过程。
例如 著名的“苏格拉底三段论”：
凡人都是要死的，
苏格拉底是人，
所以苏格拉底是要死的。
显然，该论证是正确的，但不能用命题逻辑的推理规则推导出来。
1.2定义
我们可将原子命题分解成两部分：个体（名词，代词）+ 谓词（动词）。
例如： 人总是要死的
是无理数。
小王比小明高。
在命题的研究中，基于谓词分析的逻辑，称为谓词逻辑。谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展。
谓词逻辑 (对原子命题分割)
1.3谓词的概念与表示法
简单命题中表示主体或客体的词，称为个体。通常用a，b，c，…表示。
用以刻画客体的性质或关系的模式，称为谓词。通常用大写字母 F，G，H，…表示。
例如 张华是大学生。李明是大学生。
若 G：表示“是学生”，a：表示“张华”，b：表示“李明”.
则上述两个命题可符号化为： G(a)与G(b).
例如 小王比小明高。
若 H：表示“…比…高”； a：表示“小王”， b：表示“小明”.
则上述命题可符号化为：H(a,b).绝不可以写为：H(b, a).
1′谓词填式：谓词字母后填以客体所得的式子。 例如： G(a) 、G(b)、H(a, b)
2′若谓词字母联系着一个客体，则称作一元谓词;
若谓词字母联系着二个客体，则称作二元谓词;
若谓词字母联系着n个客体，则称作n元谓词。
一元谓词表示一个个体所具有的性质；
n 元谓词表示n个个体之间的关系。
3′客体的次序必须是有规定的。
1.4命题函数
1.4.1定义
例如 F:“总是要死的。”
a:“张华”; a:“老虎” ; c:“桌子”;
则 F(a)，F(b)， F(c)均为命题。
在上例中，若令 x 表示个体变元， x ɛ {a,b,c}，则 F(x)：x 总是要死的.称F(x)为命题函数。 (变化的命题)
1.4.2简单命题函数
定义：由一个谓词字母F和一个非空的个体变元集合D所组成的表达式，称为简单命题函数。
分析：
a）当简单命题函数仅有一个个体变元时，称为一元简单命题函数；
当命题函数含有两个个体变元时，则称为二元简单命题函数。
b）用任何个体去取代客体变元之后，则命题函数就变为命题；
c）命题函数中个体变元的取值范围称为个体域（论述域）。
例如：F(x) ： x 是质数。 （一元命题函数）
G(x , y)： x 生于 y。（二元命题函数）
其值取决于个体域。
个体域的给定形式有二种：
①具体给定。 eg：{a, b, c}
②全总个体域：宇宙间的一切事物组成的个体域。所有的个体都从该域中取得。
1.4.3命题函数化为命题
将命题函数化为命题，通常有两种方法：
1）将 x 取定一个值。 如：F(4)，F(5).
2）将谓词量化。 如：∀ x F(x)， ∃ x F(x).
例如：任何正整数都大于零。——命题
可表示为 ∀x F(x).
谓词与函数的比较
|
代数 |
自变量 |
函数 |
函数值 |
定义域 |
|
逻辑 |
个体变元 |
谓词 |
命题 |
个体域 |
2量词
2.1定义
对个体变元数量限制的词，称为量词。
2.2全称量词
例如 “这里所有的东西都是苹果”
可写成： ∀x A(x)或(∀x) A(x).
“∀”几种表达式的读法：
∀ x P(x)： “对所有的x，x 是…”；
∀ x ¬ P(x) ： “对所有x，x 不是…”；
¬∀ x P(x) ： “并不是对所有的x，x 是…”；
¬∀ x ¬ P(x) ： “并不是所有的x，x 不是…”。
例如：将“对于所有的 x 和任何的 y，如果 x高于 y，那么 y 不高于 x”写成命题表达形式。
解： ∀ x ∀ y (G(x , y) → ¬G(y , x))
G(x , y)：x 高于 y.
2.3存在量词
“∃”几种表达式的读法：
∃ x P(x)： “存在一个 x，使 x 是…”；
∃ x ¬ P(x) ： “存在一个 x，使 x 不是…”；
¬ ∃ x P(x) ： “不存在一个 x，使 x 是…”；
¬ ∃ x ¬ P(x) ： “不存在一个 x，使 x 不是…”。
例如：（a）存在一个人；
（b）某个人很聪明；
（c）某些实数是有理数
将（a）,（b）,（c）写成命题。
解：规定：M(x)：x 是人；C(x)：x 是很聪明；
R1(x)：x 是实数(特性谓词)；
R2(x)：x 是有理数；
则 （a） ∃ x M(x) ；
（b） ∃ x (M(x) ∧ C(x))；
（c） ∃ x (R1(x) ∧ R2(x)) 。
2.4真值与否定
量化命题的真值：决定于给定的个体域.
例如 给定个体域：{a1，…，an}。
以{a1，…，an}中的每一个个体代入
量词与否定联结词“¬”之间的关系：
例：设P(x)表示x今天来校上课， 比较可以得到：
¬（∀x)P(x) ⇔ (∃ x)¬ P(x)
¬（ ∃ x)P(x) ⇔ (∀x)¬ P(x)
3谓词公式
3.1定义
不出现命题联结词和量词的谓词命名式称为原子谓词公式，并用P(x1，…，xn)来表示。
（P为 n 元谓词， x1，…，xn为个体变元），当n=0 时称为零元谓词公式。
谓词公式的归纳法定义：
⑴原子谓词公式是谓词公式；
⑵若A是谓词公式，则¬A也是谓词公式；
⑶若A, B都是谓词公式，则(A∧B），(A∨B) ，(A→B)和(A↔B)都是谓词公式；
⑷若A是谓词公式，x 是任何变元，则
∀ x A， ∃ x A也都是谓词公式；
⑸只有按⑴—⑷所生成得的那些公式才是谓词公式（谓词公式又简称“公式”）。
例如 将下列命题翻译成谓词公式。
(1) 凡偶数均能被2整除。
(2) 存在着偶素数。
(3) 没有不犯错误的人。
(4) 在北京工作的人未必是北京人。
(5) 尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。
(6) 每列火车都比某些汽车快。
某些汽车比所有的火车慢。
3.2量词使用注意
使用量词时，应注意以下5点：
(1) 在不同个体域中，命题符号化的形式可能不一样;
(2) 一般,除非有特别说明，均以全总个体域为个体域;
(3)n元谓词化为命题至少需要n个量词，
(4)多个命题变元出现时，不能随意颠倒顺序，否则命题的含义完全改变。
(5) 在引入特性谓词 M(x)时，M(x)以蕴含前件加在“∀”后，以合取项加在“∃”后。即，
对全称量词“∀”，用“ M(x)→? ”加入；
对存在量词“∃”，用“ M(x)∧ ?”加入。
例1：将下面命题符号化。
(1) 所有的有理数均可表成分数。
(2) 有的有理数是整数。
例2：任何整数或是正的，或是负的。
例3：试将苏格拉底论证符号化：“所有的人总是要死的。因为苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。”
3.3 变元的约束
3.3.1定义
辖域：紧接在量词后面括号内的谓词公式。
例如 ∀x P(x) ，∃ x (P(x) ∧ Q(x)) 。
若量词后括号内为原子谓词公式，则括号可以省去。
约束变元：在量词的辖域内，且与量词下标相同的变元。
*变元：当且仅当不受量词的约束。
例如： ∀x P(x , y) , ∀x(P(x)→∃ y(P(x , y)) 。
3.3.2约束变元的改名规则
在谓词公式中，约束变元的符号是可以更改的。
例如：
下面介绍约束变元的改名规则：
（a）若要改名，则该变元在量词及其辖域内的所有出现均需一起更改；
（b）改名时所用的变元符号必须是量词辖域内未曾出现的符号。
例如：公式 ∀x P(x)→∃ y P(x , y) 可改写成
∀x P(x)→∃ z P(x , z) ，
但不能改成：∀x P(x)→∃ x P(x , x) ，
∃ x P(x , x)中前面的x原为*变元，现在变为约束变元了。
3.3.3区别是命题还是命题函数的方法
（a）若在谓词公式中出现有*变元，则该公式为命题函数；
（b）若在谓词公式中的变元均为约束出现，则该公式为命题。
例如： ∀x P(x, y, z)是二元谓词，
∃ y ∀x P(x, y, z)是一元谓词，
∀x P(x)是命题
即谓词公式中如果没有*变元出现，则该公式是一个命题。
例1：“没有不犯错的人。”
解：设 F(x) 为“x犯错误”，
M(x) 为“x是人”（特性谓词）。
可把此命题写成：
例2： “x 是 z 的父亲且 z 是 y 的母亲”。
解：设P(z)：z是人；
F(x , z)：x是z的父亲；
M(z , y)：z是y的母亲。
则谓词公式可写成：
且该命题函数表示“x 是 y 的外祖父”。
3.4个体域
(1)个体域不同，则表示同一命题的谓词公式的形式不同。
例如：“所有的人都是要死的。”
令D(x)：x是要死的。
下面给出不同的个体域来讨论：
(ⅰ)个体域为：{人类}，
则可写成 ∀x D(x) ；
(ⅱ)个体域为任意域（全总个体域），则人必须首先从任意域中分离出来.
设M(x)：x是人，（M(x)为特性谓词）。
命题可写成∀x(M(x) → D(x)).
(2) 个体域不同，则表示同一命题的值不同。
|
设 Q(x): x<5 |
{-1,0,3} |
{-3,6,2} |
{15,30} |
|
∀ x Q(x) |
T |
F |
F |
|
∃ x Q(x) |
T |
T |
F |
(3)对于同一个体域，用不同的量词时，特性谓词加入的方法不同。
对于全称量词，其特性谓词以前件的方式加入;
对于存在量词，其特性谓词以与的形式加入。
(4)量词对变元的约束，往往与量词的次序有关。
例如：∀y ∃x (x < y-2))表示任何 y 均有 x， 使得x < y-2。
4谓词演算的永真公式
4.1定义
A，B为两个谓词公式，E为它们的共同个体域，
若对A和B的任一组变元进行赋值，都有A和B的值相同，
则称A和B遍及E是互为等价的，记为A ⇔ B.
给定谓词公式A，E是A的个体域。
若给A中个体变元指派E中的每一个个体所得命题的值均为真，
则称A在E中是永真的。
若E为任意域则称A是永真的。
给定谓词公式A，E是A的个体域。
若给A中个体变元指派E中每一个个体，在E中存在一些个体名称，使得指派后的真值为“T”，则A称是可满足的。
若给A中个体变元指派个体域中的任一个体，命题的值均为“F”，则称A是永假的。
4.2谓词公式的永真式
4.2.1不含量词的谓词公式的永真式
只要用原子谓词公式去替换命题公式的永真式中的原子命题变元，则在第一章中永真蕴含式和等价公式均可变成谓词演算中的永真式：
4.2.2 含有量词的等价式和永真蕴含式
设个体域为：S={a1，a2，…，an}，我们有：
说明：
若个体域是有限的，则可省掉量词。
若个体域是无限的，则可将上述概念推广从而省去量词，不过要注意这是由无限项组成的命题。
例如：设个体域为：N={0,1,2…}，A(x)：x>3 ，则可写出：
∀ x A(x) ⇔ A(0) ∧ A(1) ∧ A(2)∧ …
∃ x A(x) ⇔ A(0) ∨ A(1) ∨ A(2) ∨ …
证明：设个体域为： S={a1，a2，…，an}.
¬ ∃ x P(x) ⇔ ¬（P(a1) ∨ P(a2) ∨ … ∨ P(an)）
⇔ ¬ P(a1) ∧ ¬ P(a2) ∧ … ∧ ¬ P(an)
⇔ ∀ x ¬P(x)
下面举例说明量化命题和非量化命题的差别：否定形式不同
例如： 否定下列命题：
(a)上海是一个小城镇 A(s)
(b)每一个自然数都是偶数 ∀ x (N(x) → E(x))
上述二命题的否定为：
(a)上海不是一个小城镇 ¬ A(s)
(b)有一些自然数不是偶数
¬ ∀ x (N(x) → E(x))
(b)有一些自然数不是偶数
¬ ∀ x (N(x) → E(x)) ⇔ ∃ x ¬ (N(x) → E(x))
⇔ ∃ x ¬ (¬ N(x)∨E(x))
⇔ ∃ x (N(x)∧¬ E(x))
结论：对于非量化命题的否定只需将动词否定，而对于量化命题的否定不但对动词进行否定，而且对量词同时进行否定，其方法是：
∀ x 的否定变为∃ x ， ∃ x 的否定变为∀ x 。
证明：设个体域为： S={a1，a2，…，an}.
∀x A(x)∨P
⇔ (A(a1) ∧ A(a2) ∧ … ∧ A(an) )∨ P
⇔ (A(a1) ∨ P) ∧ … ∧ (A(an) ∨ P)
⇔ ∀ x（A(x) ∨ P ）
证明：设个体域为： S={a1，a2，…，an}.
∃ x（A(x) → B ）
⇔ (A(a1) → B) ∨ … ∨ (A(an) → B)
⇔ (¬ A(a1) ∨ B) ∨ … ∨ (¬ A(an) ∨ B)
⇔ (¬ A(a1) ∨ … ∨ ¬ A(an)) ∨ B
⇔ ∃ x ¬ A(x) ∨ B
⇔ ¬ ∀x A(x) ∨ B
⇔ ∀ x A(x) → B 
证明：设个体域为： S={a1，a2，…，an}.
1. ∀ x（A(x) ∧ B (x) ）
⇔ (A(a1)∧B (a1) ) ∧ … ∧ (A(an)∧B (an) )
⇔ (A(a1)∧ … ∧A(an)) ∧ (B(a1)∧ … ∧B(an))
⇔ ∀ x A(x) ∧ ∀ x B (x)
下面列出对应的表达式可以看出其不同处：
设 x 的个体域为： {a1, a2, …, an} ，
y 的个体域为： {b1, b2, …, bn} ，
则：
(1) ∀x ∃y P(x , y)
⇔ ∃y P(a1 , y) ∧ … ∧ ∃y P(an , y)
⇔ （P(a1 , b1) ∨ … ∨ P(a1 , bn) ）∧ … ∧（P(an , b1) ∨ … ∨ P(an , bn) ）
(2) ∃y ∀x P(x , y)
⇔ ∀x P(x , b1) ∨ … ∨ ∀x P(x , bn)
⇔ （P(a1 , b1) ∧ … ∧ P(an , b1) ） ∨ … ∨ （P(a1 , bn) ∧ … ∧ P(an , bn) ）
例如：x , y的个体域{鞋子}，
P(x , y) ：x 和 y 配成一双鞋子。
则
∀x ∃y P(x , y) ⇔ T
∃y ∀x P(x , y) ⇔ F
例如：x , y 的个体域为 N={0,1,2…}，则
∀x ∀y P(x , y)
⇔ ∀y P(0, y) ∧∀y P(1, y) ∧∀y P(2, y) ∧ …
⇔ （P(0, 0) ∧P(0, 1) ∧ … ∧ P(0, j) ∧ …）
∧… ∧
（P(i, 0) ∧P(i, 1) ∧ … ∧ P(i , j) ∧ …）
∧…
⇔ （P(0, 0) ∧P(1, 0) ∧ … ∧ P(i , 0) ∧ …）
（P(0, 1) ∧P(1, 1) ∧ … ∧ P(i , 1) ∧ …）
∧…
⇔ ∀x P(x, 0) ∧∀ x P(x, 1) ∧ … ∧ ∀ x P(x, j) ∧ …
⇔∀y ∀x P(x , y)
同样： ∃ x ∃ y P(x , y) ⇔∃ y ∃x P(x , y) 
例如 ¬ ∀ x ∃ y ∀ z P(x , y , z)
⇔ ∃ x ¬ ∃ y∀ z P(x , y , z)
⇔ ∃ x ∀ y ¬ ∀ z P(x , y , z)
⇔ ∃ x∀ y ∃ z ¬ P(x , y , z) 
4.3前束范式
4.3.1定义
定义：一个公式，如果量词均非否定地在全式的开头，它们的作用域延伸到整个公式的末尾，则称此公式叫前束范式
例如： ∀x ∃ y ∀z (¬ Q(x , y) ∨ R(z))
(前束范式)
定理：任何一个谓词公式均和一个前束范式等价。
证明:
①利用量词转换把 ¬ 深入到原子谓词公式前;
②利用约束变元的改名规则;
③利用量词辖域的扩张收缩律,把量词移到全式的最前面，这样一定可得到等价的前束范式。
5谓词演算的推理规则
5.1 含有量词的特殊永真式
设A(x)是一个谓词公式，x 是其中的*变元，
若把 y 代入到A(x)里而不会产生变元新的约束出现，则称A(x)对于 y 是*的。
例如：①下面A(x)对于 y 是*的：
A(x) ⇔ ∀z P(z) ∧ Q(x , z)，这里 x 为*变元，若用 y 去取代A(x)中的x，
A(y) ⇔ ∀z P(z) ∧ Q(y , z)，这里 y 也为*变元.
例如：②下面A(x)对于 y 不是*的：
A(x) ⇔ ∀y （S(x) → S(y)），这里 x 为*变元，若用 y 去取代A(x)中的x，
A(y) ⇔ ∀y （S(y) → S(y)），这里 y 变为约束变元了，产生了新的约束出现.
如果必须要代入 y，则应先将A(x)中的约束变元 y 改名，即
A(x) ⇔ ∀z （S(x) → S(z)），
然后用 y 去取代A(x)中的x，得
∀z （S(y) → S(z)），y 仍为*变元.
总结： 判定A(x)对于 y是*的，只要看公式A(x)中∀y ，∃ y的辖域内有没有 x 的*出现就行：
若有 x 的*出现，则A(x)对于 y 不是*的，若无 x 的*出现，则一定可以肯定A(x)对于 y 是*的。
5.2四个推理规则
5.3推理规则使用说明
5.3.1命题逻辑中
命题逻辑中的P规则，T规则，CP规则和间接证明法，都可以引用到谓词逻辑的推理规则中来，
不过要注意对量词做适当处理
其方法是：可用US，ES在推导中去掉量词；可用UG，EG使结论量化。
5.3.2四个推理规则
四个推理规则的使用说明：
（1）在使用ES，US时，一定要是前束范式；
（2）推导中连续使用US规则时，可用相同变元
∀x P(x) ⇒ P(y)
∀x Q(x) ⇒ Q(y)
（3）推导中若既用ES，又用US， 则必须先用ES ，后用US，方可取相同变元，反之不行。
∃ x P(x) ⇒ P(y)
∀x Q(x) ⇒ Q(y)
（4）推导中连续使用ES规则时，使用一次更改一个变元。
例1：证明苏格拉底三段论：“凡人都是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是要死的。”
证明：设 F(x)：x是人；
G(x)：x是要死的；
a：苏格拉底
于是命题可化为： 
例2 证明 ∀x (H(x) → M(x)) ，∃x H(x) ⇒ ∃x M(x)
例3 证明 ∃x (P(x) → Q(x)) ⇒ ∀x P(x) → ∃x Q(x)
例4 证明
¬ ∀x ( P(x) ∧ Q(x) ) ，∀x P(x) ⇒ ¬ ∀x Q(x)
例5 下列结论能否从前提中推出：
∀x ( P(x) → Q(x) ) ，¬ Q(c) ⇒ ∀x ¬P(x)
注意：在使用US，ES，UG，EG这四条规则时，要严格按照它们的规定去使用。
5.3.3 二个量词的推理
构造下面定理的证明： 
