统计学习方法笔记——一、统计学习（机器学习）基础知识（上）

1.1 统计学习

统计学习也称统计机器学习

主要特点：

1. 以计算机及网络为平台，建立在计算机及网络之上
2. 以数据为研究对象，是数据驱动的学科
3. 统计学习的目的是对数据进行预测和分析
4. 统计学习以方法为中心，统计学习方法构建模型并应用模型进行预测和分析
5. 统计学习是概率论、统计学、信息论、计算理论、最优化理论及计算机科学等多个领域的交叉学科

统计学习的对象是数据，从数据出发，提取数据特征，抽象出数据的模型，发现数据中的知识，又回到对数据的分析和预测中去。（数据包括各种数字、文字、图像、视频、音频数据以及它们的组合）

统计学习关于数据的基本假设是同类数据具有一定的统计规律性（统计学习的前提）

目的：

用于对数据进行预测与分析，特别是对未知新数据进行预测与分析。对数据进行预测和分析是通过构建概率统计模型实现的。统计学习总的目的是考虑学习什么样的模型和如何学习模型，以使模型能对数据进行准确的预测与分析，同时尽可能提高学习效率

方法：

统计学习由监督学习（supervised learning）、非监督学习（unsupervised learning）、半监督学习（semi-supervised learning）和强化学习（reinforcement learning）等组成，这里主要讨论监督学习

统计学习三要素：

模型（model）、策略（strategy）和算法（algorithm）

实现步骤：

1. 得到一个有限的训练数据集合
2. 确定包含所有可能的模型的假设空间，即学习模型的集合
3. 确定模型选择的准则，即学习的策略
4. 实现求解最优模型的算法，即学习的算法
5. 通过学习方法选择最优模型
6. 利用学习的最优模型对新数据进行预测分析

1.2 监督学习

监督学习（supervised learning）的任务是学习一个模型，使模型能够对任意给定的输入，对其相应的输出做出一个好的预测

1.2.1 基本概念

1. 输入空间、特征空间与输出空间

在监督学习中，将输入输出所有可能取值的集合分别称为输入空间与输出空间。输入输出空间可以是有限元素的集合，也可以是整个欧式空间；输入空间和输出空间可以是同一个空间，也可以是不同的空间，但通常输出空间远小于输入空间。
每各具体的输入是一个实例（instance），通常由特征向量表示。这时，所有特征向量存在的空间称为特征空间。
输入实例\(x​\)的特征向量

\[x = \left( \begin{matrix} x^{(1)} ,& x^{(2)} ,& \cdots ,& x^{(m)} \\ \end{matrix} \right)^{T} \]

训练集通常表示为

\[T = \left\{ \begin{matrix} (x_1,y_1),&(x_2,y_2),& \cdots ,& (x_N,y_N) \end{matrix} \right\} \]

测试数据也由相对应的输入与输出对组成，输入与输出对又称为样本（sample）或样本点。
根据输入输出变量的不同类型，对预测任务给予不同的名称：

1. 回归问题：输入与输出变量均为连续变量
2. 分类问题：输出变量为有限个离散变量
3. 标注问题：输入与输出变量均为变量序列

2. 联合概率分布

监督学习假设输入与输出的随机变量\(X\)和\(Y\)遵循联合概率分布\(P(X,Y)\)，\(P(X,Y)\)表示分布函数或者分布密度函数

3.假设空间

由输入空间到输出空间的映射的集合称为假设空间。假设空间的确定意味着学习范围的确定。

监督学习的模型可以是概率模型或非概率模型，由条件概率分布\(P(Y|X)\)或决策函数（decision function）\(Y = f(x)\)表示。

1.2.2问题的形式化

监督学习问题

监督学习分为学习和预测两个过程，由学习系统与预测系统完成。

1.3 统计学习三要素

统计学习方法都是由模型、策略和算法构成的，即统计学习方法由三要素构成，可以简单地表示为

方法=模型+策略+算法 ## 1.3.1 模型 统计学习首要考虑的问题事学习什么样的模型。在监督学习过程中，模型就是索要学习的条件概率分布或决策函数。模型的假设空间(hypothesis space)包含所有可能的条件概率分布或决策函数。 ## 1.3.2 策略 获取模型的假设空间后，接着需要考虑的是按照什么样的准则学习或选择最优的模型，统计学习的目的在于从假设空间中选取最优模型。 首先引入随时函数与风险评估函数的概念。损失函数度量模型一次预测的好坏，风险函数度量平均意义下模型预测的好坏。

1. 损失函数和风险函数

监督学习问题是在假设空间 \(\mathcal { F }​\) 中选取模型 \(f​\) 作为决策函数，对于给定的输入 \(X​\) ,由 \(f(X)​\) 给出的相应的输出 \(Y​\) ，这个输出的预测值 \(f(X)​\) 与真实值 \(Y​\) 可能一致也可能不一致，用一个损失函数（loss function）或代价函数（cost function）来度量预测错误的程度。损失函数是 \(f(X)​\) 和 \(Y​\) 的非负实值记录，记作 \(L(Y,f(X))​\) 。

统计学习常用的损失函数有以下几种：

（1）0-1损失函数（0-1 loss function）

\[L(Y,f(X))= \begin{cases} 1,\quad &Y\neq f(X)\\ 0,\quad &Y=f(X) \end{cases} \tag{1.1} \]

（2）平方损失函数（quadratic loss function）

\[L(Y,f(X))=(Y-f(X))^2 \tag{1.2} \]

（3）绝对损失函数（absolute loss function）

\[L(Y,f(X))=|Y-f(X)| \tag{1.3} \]

（4）对数损失函数（logarithmic loss function）或对数似然损失函数（loglikelihood loss function）

\[L(Y,P(Y|X))=-logP(Y|X) \tag{1.4} \]

损失函数越小，模型就越好，由于模型的输入、输出 \((X,Y)\) 是随机变量，遵循联合分布 \(P(X,Y)​\) ，所以损失函数的期望是

\[R_{exp}(f)=E_{P}[L(Y,f(X))]=\int_{\mathcal{x}\times \mathcal{y}}L(y,f(x))P(x,y)dxdy \tag{1.5} \]

这是理论上模型 \(f(X)\) 关于联合分布 \(P(X,Y)\) 的平均意义下的损失，称为风险函数（risk function）或期望损失（expected loss）。

学习的目标就是选择期望风险最小的模型。

由于联合分布\(P(X,Y)​\)是未知的，\(R_{exp}(f)​\)不能直接计算。而实际上，如果知道联合分布\(P(X,Y)​\)，可以直接求出条件概率分布\(P(Y|X)​\)，也就不需要学习了。这样一来，一方面根据期望风险最小学习模型要用到联合分布，另一方面联合分布又是未知的，所以监督学习就成为一个病态的问题(ill-formed problem)。

设\(R_{emp}\)为\(f(X)\)关于训练集的平均损失，称为经验风险(empirical risk)或经验损失(empirical loss)。

\[R_{emp}(f)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_{i})) \tag{1.6} \]

期望风险是模型关于联合分布的期望损失，经验风险是模型关于训练样本集的平均损失。根据大数定律，当样本容量N趋于无穷时，经验风险区域期望风险，所以我们会很自然的想到用经验风险估计期望风险。由于现实训练中样本数量有限，这一方法常常不理想，需要对经验风险进行一定的矫正，这就关系到监督学习的两个基本策略：经验风险最小化和结构风险最小化。

2.经验风险最小化与结构风险最小化

经验风险最小化（empirical risk minimization, ERM）的策略认为，经验风险最小的模型是最优的模型。根据这一策略，按照经验风险最小化求最优模型就是求解最优化问题：

\[\min_{f\in \mathcal{F}}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_{i},f(x_i)) \tag{1.7} \]

例子：

​ 极大似然估计（maximum likelihood estimation）。当模型是条件概率分布，损失函数是对数损失函数时，经验风险最小化就等价于极大似然估计。

当样本容量很小时，经验风险最小化学习效果就未必很好，会产生过拟合（over-fitting）现象。

结构风险最小化（structural risk minimization，SRM）是为了防止过拟合而提出来的策略。结构风险最小化等价于正则化（regularization）。结构风险在经验风险上加上表示模型复杂度的正则化项（regularizer）或罚项（penalty term）。在假设空间、损失函数以及训练数据集正确的情况下，结构风险的定义为：

\[R_{srm}(f)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}L(y_i,f(x_i))+\lambda J(f) \tag{1.8} \]

其中\(J(f)\)为模型的复杂度，是定义在假设空间\(\mathcal{F}\)上的泛函。\(\lambda \geq 0​\)是系数，用以权衡经验风险和模型复杂度。

例子：

​ 贝叶斯结构估计中的最大后验概率估计（maximum posterior probability estimation，MAP）。当模型是条件概率分布、损失函数是对数损失函数、模型复杂度由模型的先验概率表示是，结构风险最小化就等价于最大后验概率估计。

1.3.3 算法

算法是指学习模型的具体计算方法，用于求解最优化模型。