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写在前面

随便翻一翻流行的推理框架（加速器），如NCNN、NNPACK等，可以看到，对于卷积层，大家不约而同地采用了Winograd快速卷积算法，该算法出自CVPR 2016的一篇 paper：Fast Algorithms for Convolutional Neural Networks。

本文将尝试揭开Winograd算法的神秘面纱。

问题定义

将一维卷积运算定义为\(F(m, r)\)，\(m\)为Output Size，\(r\)为Filter Size，则输入信号的长度为\(m+r-1\)，卷积运算是对应位置相乘然后求和，输入信号每个位置至少要参与1次乘法，所以乘法数量最少与输入信号长度相同，记为

\[\mu(F(m, r))=m+r-1 \]

在行列上分别进行一维卷积运算，可得到二维卷积，记为\(F(m\times n, r\times s)\)，输出为\(m\times n\)，卷积核为\(r\times s\)，则输入信号为\((m+r-1)(n+s-1)\)，乘法数量至少为

\[\begin{aligned} \mu(F(m \times n, r \times s)) &=\mu(F(m, r)) \mu(F(n, s)) \\ &=(m+r-1)(n+s-1) \end{aligned} \]

若是直接按滑动窗口方式计算卷积，一维时需要\(m\times r\)次乘法，二维时需要\(m\times n \times r \times s\)次乘法，远大于上面计算的最少乘法次数。

使用Winograd算法计算卷积快在哪里？一言以蔽之：快在减少了乘法的数量，将乘法数量减少至\(m+r-1\)或\((m+r-1)(n+s-1)\)。

怎么减少的？请看下面的例子。

一个例子 F(2, 3)

先以1维卷积为例，输入信号为\(d=\left[ \begin{array}{llll}{d_{0}} & {d_{1}} & {d_{2}} & {d_{3}}\end{array}\right]^{T}\)，卷积核为\(g=\left[ \begin{array}{lll}{g_{0}} & {g_{1}} & {g_{2}}\end{array}\right]^{T}\)，则卷积可写成如下矩阵乘法形式：

\[F(2, 3) = \left[ \begin{array}{lll}{d_{0}} & {d_{1}} & {d_{2}} \\ {d_{1}} & {d_{2}} & {d_{3}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{g_{0}} \\ {g_{1}} \\ {g_{2}}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{r_0} \\ {r_1}\end{array}\right] \]

如果是一般的矩阵乘法，则需要6次乘法和4次加法，如下：

\[\begin{array}{l}{r_{0}=\left(d_{0} \cdot g_{0}\right)+\left(d_{1} \cdot g_{1}\right)+\left(d_{2} \cdot g_{2}\right)} \\ {r_{1}=\left(d_{1} \cdot g_{0}\right)+\left(d_{2} \cdot g_{1}\right)+\left(d_{3} \cdot g_{2}\right)}\end{array} \]

但是，卷积运算中输入信号转换成的矩阵不是任意矩阵，其中有规律地分布着大量的重复元素，比如第1行和第2行的\(d_1\)和\(d_2\)，卷积转换成的矩阵乘法比一般矩阵乘法的问题域更小，这就让优化存在了可能。

Winograd是怎么做的呢？

\[F(2,3)=\left[ \begin{array}{lll}{d_{0}} & {d_{1}} & {d_{2}} \\ {d_{1}} & {d_{2}} & {d_{3}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{g_{0}} \\ {g_{1}} \\ {g_{2}}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \\ {m_{2}-m_{3}-m_{4}}\end{array}\right] \]

其中，

\[\begin{array}{ll}{m_{1}=\left(d_{0}-d_{2}\right) g_{0}} & {m_{2}=\left(d_{1}+d_{2}\right) \frac{g_{0}+g_{1}+g_{2}}{2}} \\ {m_{4}=\left(d_{1}-d_{3}\right) g_{2}} & {m_{3}=\left(d_{2}-d_{1}\right) \frac{g_{0}-g_{1}+g_{2}}{2}}\end{array} \]

乍看上去，为了计算\(\begin{array}{l}{r_{0}=m_1 + m_2 + m_3 } \\ {r_{1}=m_2 - m_3 - m_4}\end{array}\)，需要的运算次数分别为：

输入信号\(d\)上：4次加法（减法）
~~卷积核\(g\)上：3次加法（\(g_1+g_2\)中间结果可保留），2次乘法（除法）~~
输出\(m\)上：4次乘法，4次加法

在神经网络的推理阶段，卷积核上的元素是固定的，因此\(g\)上的运算可以提前算好，预测阶段只需计算一次，可以忽略，所以一共所需的运算次数为\(d\)与\(m\)上的运算次数之和，即4次乘法和8次加法。

与直接运算的6次乘法和4次加法相比，乘法次数减少，加法次数增加。在计算机中，乘法一般比加法慢，通过减少减法次数，增加少量加法，可以实现加速。

1D winograd

上一节中的计算过程写成矩阵形式如下：

\[Y=A^{T}\left[(G g) \odot\left(B^{T} d\right)\right] \]

其中，\(\odot\)为element-wise multiplication（Hadamard product）对应位置相乘，

\[B^{T}=\left[ \begin{array}{cccc}{1} & {0} & {-1} & {0} \\ {0} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {-1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {-1}\end{array}\right] \]

\[G=\left[ \begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {\frac{1}{2}} & {\frac{1}{2}} & {\frac{1}{2}} \\ {\frac{1}{2}} & {-\frac{1}{2}} & {\frac{1}{2}} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right] \]

\[A^{T}=\left[ \begin{array}{llll}{1} & {1} & {1} & {0} \\ {0} & {1} & {-1} & {-1}\end{array}\right] \]

\[g=\left[ \begin{array}{lll}{g_{0}} & {g_{1}} & {g_{2}}\end{array}\right]^{T} \]

\[d=\left[ \begin{array}{llll}{d_{0}} & {d_{1}} & {d_{2}} & {d_{3}}\end{array}\right]^{T} \]

\(g\)：卷积核
\(d\)：输入信号
\(G\)：Filter transform矩阵，尺寸\((m+r-1)\times r\)
\(B^T\)：Input transform矩阵，尺寸\((m+r-1)\times (m+r-1)\)
\(A^T\)：Output transform矩阵，尺寸\(m \times (m+r-1)\)

整个计算过程在逻辑上可以分为4步：

Input transform
Filter transform
Hadamar product
Output transform

注意，这里写成矩阵形式，并不意味着实现时要调用矩阵运算的接口，一般直接手写计算过程速度会更快，写成矩阵只是为了数学形式。

1D to 2D，F(2, 3) to F(2x2, 3x3)

上面只是看了1D的一个例子，2D怎么做呢？

论文中一句话带过：

A minimal 1D algorithm F(m, r) is nested with itself to obtain a minimal 2D algorithm,F(m×m, r×r).

\[Y=A^{T}\left[\left[G g G^{T}\right] \odot\left[B^{T} d B\right]\right] A \]

其中，\(g\)为\(r \times r\) Filter，\(d\)为\((m+r-1)\times (m+r-1)\)的image tile。

问题是：怎么nested with itself？

这里继续上面的例子\(F(2, 3)\)，扩展到2D，\(F(2\times 2, 3 \times 3)\)，先写成矩阵乘法，见下图，图片来自SlideShare，注意数学符号的变化，

nested 1D winograd algorithm
将卷积核的元素拉成一列，将输入信号每个滑动窗口中的元素拉成一行。注意图中红线划分成的分块矩阵，每个子矩阵中重复元素的位置与一维时相同，同时重复的子矩阵也和一维时相同，如下所示

令\(D_0 = [k_0, k_1, k_2, k_3]^T\)，即窗口中的第0行元素，\(D_1 \ D_2 \ D_3\)表示第1、2、3行；\(W_0=[w_0, w_1, w_2]^T\)，

\[\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c}{r_0} \\ {r_1} \\ {r_2} \\ {r_3}\end{array}\right] &= \left[ \begin{array}{c}{R_0} \\ {R_1}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{c}{K_0 W_0 + K_1 W_1 + K_2 W_2} \\ {K_1 W_0 + K_2 W_1 + K_3 W_2} \end{array} \right] \\ &= \left[ \begin{array}{c} {A^{T}\left[(G W_0) \odot\left(B^{T} D_0 \right)\right] + A^{T}\left[(G W_1) \odot\left(B^{T} D_1 \right)\right] + A^{T}\left[(G W_2) \odot\left(B^{T} D_2 \right)\right]} \\ {A^{T}\left[(G W_0) \odot\left(B^{T} D_1 \right)\right] + A^{T}\left[(G W_1) \odot\left(B^{T} D_2 \right)\right] + A^{T}\left[(G W_2) \odot\left(B^{T} D_3 \right)\right]} \end{array} \right] \\ \\ &=A^{T}\left[\left[G [W_0 \ W_1 \ W_2 ] G^{T}\right] \odot\left[B^{T} [d_0 \ d_1 \ d_2 \ d_3] B\right]\right]A \\ \\ &=A^{T}\left[\left[G g G^{T}\right] \odot\left[B^{T} d B\right]\right] A \end{aligned} \]

卷积运算为对应位置相乘再相加，上式中，\(A^{T}\left[(G W_0) \odot\left(B^{T} D_0 \right)\right]\)为列向量\(W_0\)与\(D_0\)的卷积，结果为长度为2的列向量，而\(A^{T}\left[(G W_0) \odot\left(B^{T} D_0 \right)+ (G W_1) \odot\left(B^{T} D_1 \right) + (G W_2) \odot\left(B^{T} D_2 \right)\right]\)方括号内对应位置相乘再相加，相当于在构成的行向量上卷积，据此，上面的推导就不难看出了。

卷积运算为对应位置相乘再相加，上式中，\(A^{T}\left[(G W_0) \odot\left(B^{T} D_0 \right)\right]\)表示长度为4的\(D_0\)与长度为3的\(W_0\)卷积结果，结果为长度为2的列向量，其中，\((G W_0)\)和\((B^{T} D_0)\)均为长度为4的列向量，进一步地，\(\left[(G W_0) \odot\left(B^{T} D_0 \right)+ (G W_1) \odot\left(B^{T} D_1 \right) + (G W_2) \odot\left(B^{T} D_2 \right)\right]\)可以看成3对长度为4的列向量两两对应位置相乘再相加，结果为长度为4的列向量，也可以看成是4组长度为3的行向量的点积运算，同样，\(\left[(G W_0) \odot\left(B^{T} D_1 \right)+ (G W_1) \odot\left(B^{T} D_2 \right) + (G W_2) \odot\left(B^{T} D_3 \right)\right]\)也是4组长度为3的行向量的内积运算，考虑两者的重叠部分\((B^T D_1)\)和\((B^T D_2)\)，恰好相当于\(G [W_0 \ W_1 \ W_2 ]\)的每一行在\(B^{T} [d_0 \ d_1 \ d_2 \ d_3]\)的对应行上进行1维卷积，上面我们已经进行了列向量卷积的Winograd推导，行向量的卷积只需将所有左乘的变换矩阵转置后变成右乘就可以了，至此，上面的推导结果就不难得出了。

所谓的nested with itself如下图所示，
nested 1D winograd algorithm

此时，Winograd算法的乘法次数为16（上图\(4\times 4\)），而直接卷积的乘法次数为36，降低了2.25倍的乘法计算复杂度。

卷积神经网络中的Winograd

要将Winograd应用在卷积神经网络中，还需要回答下面两个问题：

上面我们仅仅是针对一个小的image tile，但是在卷积神经网络中，feature map的尺寸可能很大，难道我们要实现\(F(224, 3)\)吗？
在卷积神经网络中，feature map是3维的，卷积核也是3维的，3D的winograd该怎么做？

第一个问题，在实践中，会将input feature map切分成一个个等大小有重叠的tile，在每个tile上面进行winograd卷积。

第二个问题，3维卷积，相当于逐层做2维卷积，然后将每层对应位置的结果相加，下面我们会看到多个卷积核时更巧妙的做法。

这里直接贴上论文中的算法流程：

整体仍可分为4步，

Input transform
Filter transform
Batched-GEMM（批量矩阵乘法）
Output transform

算法流程可视化如下，图片出自论文Sparse Winograd Convolutional neural networks on small-scale systolic arrays，与算法对应着仔细推敲还是挺直观的。
An overview of Winograd convolution layer
注意图中的Matrix Multiplication，对应3维卷积中逐channel卷积后的对应位置求和，相当于\((m+r-1)^2\)个矩阵乘积，参与乘积的矩阵尺寸分别为\(\lceil H / m\rceil\lceil W / m\rceil \times C\)和\(C \times K\)，把Channel那一维消掉。

总结

Winograd算法通过减少乘法次数来实现提速，但是加法的数量会相应增加，同时需要额外的transform计算以及存储transform矩阵，随着卷积核和tile的尺寸增大，就需要考虑加法、transform和存储的代价，而且tile越大，transform矩阵越大，计算精度的损失会进一步增加，所以一般Winograd只适用于较小的卷积核和tile（对大尺寸的卷积核，可使用FFT加速），在目前流行的网络中，小尺寸卷积核是主流，典型实现如\(F(6\times 6, 3\times 3)\)、\(F(4\times 4, 3\times 3)\)、\(F(2\times 2, 3\times 3)\)等，可参见NCNN、FeatherCNN、ARM-ComputeLibrary等源码实现。
就卷积而言，Winograd算法和FFT类似，都是先通过线性变换将input和filter映射到新的空间，在那个空间里简单运算后，再映射回原空间。
与im2col+GEMM+col2im相比，winograd在划分时使用了更大的tile，就划分方式而言，\(F(1\times 1, r\times r)\)与im2col相同。

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卷积神经网络中的Winograd快速卷积算法