“约瑟夫环”是一个数学的应用问题:一群猴子排成一圈,按1,2,…,n依次编号。然后从第1只开始数,数到第m只,把它踢出圈,从它后面再开始数, 再数到第m只,在把它踢出去…,如此不停的进行下去, 直到最后只剩下一只猴子为止,那只猴子就叫做大王。要求编程模拟此过程,输入m、n, 输出最后那个大王的编号。如:n=6,m=3
——————> ————————> ————————>
————————> ————————>
最后还剩下1号的猴子。
对于这个问题,可以这么分析: 首先第一个出列的肯定是a[1]=n%m(m/n的余数),当第i个猴子出列后,剩下的猴子的编号是i+1,i+2,i+3.......i-1,对猴子重新编号是1,2,3,4,5,6,....n-1,假设某个猴子的新编号是k,
那么它原来的编号就是(i+a[1])%n ,如i=1,(i+3)%6=4,假如知道了这个子问题(n-1个猴子)的解是x,那么原问题(n个猴子)的解便是:(x+m%n)%n=(x+m)%n,我们可以想到这是个递归问题,我们可以从只剩1个猴子开始推导,
一直获取它上一次的编号,直到猴子数量增加到n。
算法:
public function yuesefu($n, $m)
{
$r = 0;//猴子的原编号(从0开始)
//假如只有两个猴子,那么第m%2个猴子会留下
for ($i = 2; $i <= $n; $i++) {
//每循环一次,就获取一次原编号
$r = ($r + $m) % $i;
}
return $r + 1;//该剩下的猴子最后的编号
}