PID时间系数对PID本身的影响
积分时间过小积分作用增强。
微分时间过大，微分控制作用过强，容易产生振荡。
在这里的时间系统，一般指的是采样的时间，也就是PID控制的周期。在无人机当中一般采用10ms控制一次。
一般来说采样周期越小，数字模拟越精确，控制效果越接近连续控制。
对大多数算法，缩短采样周期可使控制回路性能改善，但采样周期缩短时，频繁的采样必然会占用较多的计算工作时间，同时也会增加计算机的计算负担。
对于变化迅速的，采样周期应适当减小。多回路控制，采样周期应该适当延长，使得有足够的时间控制。
位置式PID
离散化后的公式：
优点：静态误差小，溢出的影响小。
缺点：计算量很大，累积误差相对大，在系统出现错误的情况下，容易使系统失控，积分饱和。
使用：一般需要结合输出限幅和积分限幅使用。积分限幅是避免积分失控的一种手段，也是为了加快调节时间，减少积分饱和的影响,输出限幅是为了使系统输出不过度，也能够减少系统的调节时间，减少超调量。
位置式PID适用于执行没有积分部件的对象。
增量式PID
离散化后的公式：
优点：溢出的影响小，在系统出现错误的情况下,影响相对较小（因为只与过去的三次误差有关）,运算量也相对较小。
缺点：有静态误差（因为没有累积误差）。
使用：位置式PID适用于执行有积分部件的对象。
位置式PID和增量式PID
C语言实现：
//积分限幅
#define INERGRAL_MAX 200
#define INERGRAL_MAX -200
//输出限幅
#define OUT_MIN -1000
#define OUT_MAX 1000
// 滤波系数a（0-1）
#define PARAMETER 0.01
//PID结构体
typedef struct
{
volatile float Proportion; // 比例常数 Proportional Const
volatile float Integral; // 积分常数 Integral Const
volatile float Derivative; // 微分常数 Derivative Const
volatile int Error1; // Error[n-1]
volatile int Error2; // Error[n-2]
volatile int iError; // Error[n]
volatile int Error_sum;
} PID
/****************************************************************************************/ // 位置式PID
// //pwm=Kp*e(k)+Ki*∑e(k)+Kd[e（k）-e(k-1)]
/****************************************************************************************/
float PID_Postion (int iError,PID* sptr)
{
float iIncpid=0;
sptr->iError=iError; // 计算当前误差
//sptr->iError=filter(sptr->iError，sptr->Error1); 一阶滤波器
sptr->Error_sum+=sptr->iError;//积分项
///当输出限幅的时候，积分累加部分也应同时进行限幅，以防输出不变而积分项继续累加，也即所谓的积分饱和过深。
//积分量限幅
if(sptr->Error_sum >INERGRAL_MAX)
{
sptr->Error_sum = PID_InitStruct->INERGRAL_MAX ;
}
if(sptr->Error_sum < INERGRAL_MIN)
{
sptr->Error_sum = PID_InitStruct->INERGRAL_MIN ;
}
iIncpid=sptr->Proportion * sptr->iError // P
+sptr->Integral * sptr->Error_sum // I
+sptr->Derivative * (sptr->iError-sptr->Error1); // D
sptr->Error1=sptr->iError; // 存储误差，用于下次计算
iIncpid=PID_OutputLimit(sptr,iIncpid);//PID输出限幅
return(iIncpid); // 返回计算值
}
/****************************************************************************************/ //增量式PID
// pwm+=Kp[e（k）-e(k-1)]+Ki*e(k)+Kd[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)] //
/****************************************************************************************/
float PID_increase(int iError,PID* sptr)
{
float iIncpid=0;
sptr->iError=iError;//直接检测当前偏差
iIncpid=sptr->Proportion * (sptr->iError-sptr->Error1) // P
+sptr->Integral * sptr->iError // I
+sptr->Derivative * (sptr->iError-2*sptr->Error1+sptr->Error2); // D
sptr->Error2=sptr->Error1; // 存储误差，用于下次计算
sptr->Error1=sptr->iError;
iIncpid=PID_OutputLimit(sptr,iIncpid);//输出限幅处理
return(iIncpid); // 返回增量值
}
//PID初始化
void PID_Init(PID *sptr)
{
sptr->Derivative=0;//Kd
sptr->Proportion=0;//Kp
sptr->Integral=0;//Ki
sptr->Error2=0;//第二次误差
sptr->Error1=0;
sptr->iError=0;
sptr->Error_sum=0;//第一次误差
}
//PID输出限制，根据PWM的输出值进行增量式PID输出限制
float PID_OutputLimit(PID *this, double output)
{
if ((int)output < OUT_MIN)
{
output = OUT_MIN;
}
else if ((int)output > OUT_MAX)
{
output = OUT_MAX;
}
return output;
}
//一阶低通滤波器
//减少毛刺,
//滤波系数。取值范围为0~1, 值越小越稳定，越大越灵敏。使用使需要根据实际情况调整滤波系数
//输入：新的采样值
//输出：滤波后的值
float filter(float value，float new_value)
{
return （1-PARAMETER）*value +PARAMETER*new_value;
}两种针对积分的PID：
主要目的是为了尽可能利用积分的优势，消除静态误差，也同时减少积分的副作用。
使PID控制器的超调量减少，调节时间减少，系统更加稳定。
积分分离式PID
积分分离式PID主要是针对位置式PID的积分，引入判断误差大小条件，是否使用积分项。
优点：
判定误差比较大的时候，取消积分项的，使用PD或者P控制，没有I的控制，这样，超调量和调节时间都会同时减少。当误差比较小的时候，引入积分项，消除静态误差。
缺点：
需要经验来确定判断误差的大小，在什么时候使用积分分离比较合适，也就是误差多大的时候取消积分。
应用：
主要用于消除余差，该方法特别适用于生产设备启动阶段的控制。
C语言实现：PID位置式上面有，这里只需要添加一句判断语句和对积分处理。
无积分分离式的PID：
sptr->Error_sum+=sptr->iError;//积分累加
iIncpid=sptr->Proportion * sptr->iError // P
+sptr->Integral * sptr->Error_sum // I
+sptr->Derivative * (sptr->iError-sptr->Error1); // D积分分离式PID：
#include<math.h>
int index=0;//积分分离标志
//积分分离处理
if(abs(sptr->iError)> 40) sptr->index=0;
else
{
sptr->index=1;
sptr->Error_sum+=sptr->iError;//积分累加
}
iIncpid=sptr->Proportion * sptr->iError // P
+sptr->Integral * （sptr->Error_sum * index） // I
+sptr->Derivative * (sptr->iError-sptr->Error1); // D变速积分PID
变积分PID我的理解是积分分离式PID的变体，积分分离式PID 积分的的权重是1或者0，而变积分PID积分的权重会动态变化。取决于偏差，偏差越大，积分越慢。
优缺点和积分分离式PID差不多，只不过，这个变速积分PID更加科学。
积分分离式PID：
#include<math.h>
#define I_MAX 40
#define I_MIN 5
int index=0;//积分分离标志
//变积分处理
if(abs(sptr->iError)> I_MAX) index=0;
else if(abs(sptr->iError)< I_MIN) index=1;
else index=(I_MAX - abs(sptr->iError) / (I_MAX - I_MIN);
if(index!=0) sptr->Error_sum+=sptr->iError;//积分累加
iIncpid=sptr->Proportion * sptr->iError // P
+sptr->Integral * （sptr->Error_sum * index） // I
+sptr->Derivative * (sptr->iError-sptr->Error1); // D
//变速积分也可以这样处理:更加灵活
if(fabs(sptr->iError)> I_MAX) index=0;
else if(fabs(sptr->iError)< I_MIN) index=1;
else if(fabs(sptr->iError>10&&abs(sptr->iError)<20)) index=0.4;
else if(fabs(sptr->iError>30&&abs(sptr->iError)<50)) index=0.8;
else index=(I_MAX - abs(sptr->iError) / (I_MAX - I_MIN);两种针对微分的PID如下：
不完全微分PID
这里针对微分的PID控制算法，是减少微分作用的副作用的一些算法，以便更好地利用微分作用的作用。我们知道，当系统引入微分作用得时候会，引进高频干扰。为了抑制这种干扰，便引入低通滤波器。
这种滤波器得优缺点
优点：
对周期性干扰具有良好的抑制作用
适用于波动频率较高的场合
缺点：
相位滞后，灵敏度低
滞后程度取决于a值大小
不能消除滤波频率高于采样频率的1/2的干扰信号
应用：对于诸如阶跃信号等信号变化很大信号。采用不完全微分能够使得微分作用更为持续平缓。
控制图：
位置式PID不完全微分：
公式：
增量式PID不完全微分：
公式：
//PID结构体
typedef struct
{
volatile float Proportion; // 比例常数 Proportional Const
volatile float Integral; // 积分常数 Integral Const
volatile float Derivative; // 微分常数 Derivative Const
volatile int Error1; // Error[n-1]
volatile int Error2; // Error[n-2]
volatile int iError; // Error[n]
volatile int Error_sum;
volatile float thisdev;//前一拍时的微分项值
volatile float lastdev ;//前一拍时的微分项值
float dev_per;//微分系数
} PID;
//位置式PID不完全微分
float PID_Postion (int iError,PID* sptr)
{
float iIncpid=0;
sptr->iError=iError; // 计算当前误差
sptr->Error_sum+=sptr->iError;//积分项
//不完全微分
sptr->thisdev=sptr->Derivative*(1-sptr->dev_per)*(sptr->iError-sptr->Error1)+sptr->dev_per*sptr->lastdev;
iIncpid=sptr->Proportion * sptr->iError // P
+sptr->Integral * sptr->Error_sum // I
+sptr->thisdev; // D
//更新值
sptr->Error1=sptr->iError;
sptr->lastdev=sptr->thisdev;//更新下次微分值
return(iIncpid); // 返回计算值
}
//增量式PID不完全微分
float PID_increase(int iError,PID* sptr)
{
float iIncpid=0;
sptr->iError=iError;//直接检测当前偏差
sptr->thisdev=sptr->Derivative*(1-sptr->dev_per)*(sptr->iError-2*sptr->Error1+sptr->Error2)+sptr->dev_per*sptr->lastdev;
iIncpid=sptr->Proportion * (sptr->iError-sptr->Error1) // P
+sptr->Integral * sptr->iError // I
+sptr->thisdev; // D
//更新
sptr->Error2=sptr->Error1;
sptr->Error1=sptr->iError;
sptr->lastdev=sptr->thisdev;//更新下次微分值
return(iIncpid); // 返回增量值
}微分先行PID
控制器采用PI控制，将微分作用移动到反馈回路上。微分作用直接对被控量进行微分，对被控量速度进行控制。
优点：在给定值频繁变化的情况下，优先采用微分先行的控制方案能够更迅速的反应，对变化更为敏感。
缺点：更为敏感也就意味着更加不稳定，变化量比较大的情况下，微分作用过分凸显，容易导致超调，引起系统振荡加大。
图示：
对微分部分引入一阶惯性滤波器，进行离散化后的公式：
位置式：
增量式：
C语言实现：
//PID结构体
//位置式
typedef struct
{
volatile float Proportion; // 比例常数 Proportional Const
volatile float Integral; // 积分常数 Integral Const
volatile float Derivative; // 微分常数 Derivative Const
volatile int Error1; // Error[n-1]
volatile int Error2; // Error[n-2]
volatile int iError; // Error[n]
volatile int Error_sum;
volatile float lastPv; //前一拍的测量值
volatile float gama; //微分先行滤波系数
volatile float derivative;//微分项
} PID;
//位置式微分先行PID
float PID_Postion (float set_point,float processValue,PID* sptr)
{
float iIncpid=0;
float temp=0,c1,c2,c3;
sptr->iError=set_point-processValue; // 计算当前误差
sptr->Error_sum+=sptr->iError;//积分项
//微分先行
temp=sptr-> gama * sptr-> Derivative+ sptr-> Proportion;//γKp+Kd
c3=sptr-> Derivative/temp;//Kd/γKp+Kd
c2=(sptr-> Derivative+ sptr-> Proportion)/temp;//Kd+Kp/γKp+Kd
c1=c3*sptr-> gama;//γ(Kp/γKp+Kd)
sptr-> derivative=c1* sptr-> derivative+c2*processValue-c3* sptr-> lastPv;
iIncpid=sptr->Proportion * sptr->iError // P
+sptr->Integral * sptr->Error_sum // I
+sptr->derivative; // D
//更新值
sptr->Error1=sptr->iError;
sptr->lastPv=sptr->processValue;//更新下次微分值
return(iIncpid); // 返回计算值
}
//***********************************************************//
// 增量式微分先行PID
//***********************************************************//
//增量式PID结构体
typedef struct
{
volatile float Proportion; // 比例常数 Proportional Const
volatile float Integral; // 积分常数 Integral Const
volatile float Derivative; // 微分常数 Derivative Const
volatile int Error1; // Error[n-1]
volatile int iError; // Error[n]
volatile float lastout; //上一次的测量量
volatile float lastout_proinc; //前一拍的过程测量增量
volatile float gama; //微分先行滤波系数
volatile float out_proinc; //过程测量增量
volatile float derivative_inc; //微分项
} PID;
//增量式PID不完全微分PID_increase
float PID_increase(float set_point,float processValue,PID* sptr)
{
float iIncpid=0;
float temp=0,c1,c2,c3;
sptr->iError=set_point-processValue; // 计算当前误差
//微分先行
out_proinc=processValue-lastout;//这次输出增量
temp=sptr-> gama * sptr-> Derivative+ sptr-> Proportion;//γKp+Kd
c3=sptr-> Derivative/temp;//Kd/γKp+Kd
c2=(sptr-> Derivative+ sptr-> Proportion)/temp;//Kd+Kp/γKp+Kd
c1=c3*sptr-> gama;//γ(Kp/γKp+Kd)
sptr-> derivative_inc=c1* sptr-> derivative_inc+c2*out_proinc-c3* sptr-> lastout_proinc;
iIncpid=sptr->Proportion * (sptr->iError-sptr-> Error1)// P
+sptr->Integral * sptr->iError// I
+sptr->derivative_inc; // D
//更新值
sptr->Error1=sptr->iError;
sptr->lastout_proinc=sptr->out_proinc;//过程增量更新
sptr->lastout=processValue;//上一次的测量量更新
return(iIncpid); // 返回增量值
}带死区的PID
死区控制简单理解：
死区，就是到了一个区域，在这个区域内，PID算法不起作用，也就是不做控制。
优势：
可以抑制由于控制器输出量的量化造成的连续的较小的振荡，也就是消除稳定点附近的抖动。这是因为，现实中，总存在误差，一些较小误差难以消除。
缺点：
会造成一定的滞后。设定死区的值也是需要考虑，太小每作用，太大滞后严重。在零点附近时，若偏差很小，进入死去后，偏差置0会造成积分消失，如是系统存在静差将不能消除，所以需要人为处理这一点。
应用：
减少机械磨损，延长设备寿命等。
总结来说：PID调节器中设置死区，牺牲的是调节精度，换来的是稳定性。适用于精度不是很高的系统。
死区的输出为0时，pid控制器的比例部分和微分部分均为0，积分部分保持不变。虽然误差值在死区宽度设置的范围内变化，控制器的输出却保持不变。
C语言实现：
#define DEAD_BAND 50//死区控制值
#define PID_OUT_MAX 200 //PID输出上限
#define PID_OUT_MAX 200 //PID输出上限
#include "math.h"
//PID结构体
typedef struct
{
volatile float Proportion; // 比例常数 Proportional Const
volatile float Integral; // 积分常数 Integral Const
volatile float Derivative; // 微分常数 Derivative Const
volatile int Error1; // Error[n-1]
volatile int Error2; // Error[n-2]
volatile int iError; // Error[n]
volatile int Error_sum;
} PID
/****************************************************************************************/ // 位置式PID
// //pwm=Kp*e(k)+Ki*∑e(k)+Kd[e（k）-e(k-1)]
/****************************************************************************************/
float PID_Postion (float set_point,,float now_point,PID* sptr)
{
float iIncpid=0;
sptr->iError=now_point-set_point; // 计算当前误差
//死区控制算法
if(fabs(sptr->iError)>DEAD_BAND)
{
sptr->Error_sum+=sptr->iError;//积分项
iIncpid=sptr->Proportion * sptr->iError // P
+sptr->Integral * sptr->Error_sum // I
+sptr->Derivative * (sptr->iError-sptr->Error1); // D
sptr->Error1=sptr->iError ; // 存储误差，用于下次计算
}
else
{
iIncpid=0;
//sptr->Error_sum+=sptr->iError;//积分项
sptr->Error1=sptr->iError; // 存储误差，用于下次计算
}
return(iIncpid); // 返回计算值
}
/****************************************************************************************/ //增量式PID
// pwm+=Kp[e（k）-e(k-1)]+Ki*e(k)+Kd[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)] //
/****************************************************************************************/
float PID_increase(int iError,PID* sptr)
{
float iIncpid=0;
sptr->iError=iError;//直接检测当前偏差
if(fabs(sptr->iError)>DEAD_BAND)
{
iIncpid=sptr->Proportion * (sptr->iError-sptr->Error1) // P
+sptr->Integral * sptr->iError // I
+sptr->Derivative * (sptr->iError-2*sptr->Error1+sptr->Error2); // D
sptr->Error2=sptr->Error1; // 存储误差，用于下次计算
sptr->Error1=sptr->iError;
}
else
{
iIncpid=0;//输出增量值为0
sptr->Error2=sptr->Error1; // 存储误差，用于下次计算
sptr->Error1=sptr->iError;
}
return(iIncpid); // 返回增量值
}PID梯形积分
积分会有余差，消除不了，为了减少余差，提高运算的精度。便有了PID梯形积分，也能抑制一些随机干扰。
缺点便是，曲线到达设定值的时间会延长。
总的来说：也就积分的作用削弱了。带来的是余差进一步减小。
C语言实现：
typedef struct
{
volatile float Proportion; // 比例常数 Proportional Const
volatile float Integral; // 积分常数 Integral Const
volatile float Derivative; // 微分常数 Derivative Const
volatile int Error1; // Error[n-1]
volatile int Error2; // Error[n-2]
volatile int iError; // Error[n]
volatile int Error_sum;
} PID
/****************************************************************************************/ // 位置式PID
// //pwm=Kp*e(k)+Ki*∑e(k)+Kd[e（k）-e(k-1)]
/****************************************************************************************/
float PID_Postion (float set_point,,float now_point,PID* sptr)
{
float iIncpid=0;
sptr->iError=now_point-set_point; // 计算当前误差
//死区控制算法
sptr->Error_sum+=sptr->iError;//积分项
iIncpid=sptr->Proportion * sptr->iError // P
+sptr->Integral * sptr->Error_sum/2 // 改变的只是这里，多除了2
+sptr->Derivative * (sptr->iError-sptr->Error1); // D
sptr->Error1=sptr->iError ; // 存储误差，用于下次计算
return(iIncpid); // 返回计算值
}总结
PID的变体还有很多，除了上文，还有专家PID与模糊PID是本文不能承载，也是我不能输出，便作罢。
事物都有两面性，该怎么选择比较合适，怎么将PID的各种变体组合在一起合适自己的系统，这个是需要综合衡量和测试的，要知其然知其所以然。