前言 凸度（bulge）是AutoCAD 中一个非常重要的概念，凸度控制着两点之间弧度大小，弧度的方向。各种复杂的图像有可能就是成百上千的弧线组成的。从AutoCAD中导出的数据也有该值，一般的形式为两个点坐标、一个凸度值。所以理解凸度的概念是处理AutoCAD 文件重要的前提。本文会简要介绍一下凸度的概念，同时会给出如何根据点坐标和凸度划线。
凸度演示程序
1 凸度的概念
凸度有两个作用控制顶点弧度的大小和弧度的方向。如果通过两个坐标点画弧，会有无数种可能性，所以必须引入第三个参数，来确定经过这两点的唯一弧线，这个参数就是凸度。
凸度反应了两点之间对应弧度的大小，它的具体值为这段弧所包含角度的1/4角度的正切值。两点对应的弧度最大值为无限接近360度，凸度对应的值为接近90度的正切值，所以凸度最大值为无穷大。
仔细观察上图，图B的弧度大于图A的弧度，但是图B的半径小于图A。
为什么引入凸度值就能唯一确定弧线了？当凸度确定了，其实弧度对应的半径就确定了。考察一下图C，红线标识的部分为一个等腰三角形，等腰三角形底边长度和顶点角度确定了，就能唯一确定一个三角形大小（属于初中几何知识）。等腰三角形的两个腰长度就是圆的半径。
2 根据凸度计算及画图
不同的画图函数需要的参数也不同，我这里根据具体的画图函数来讲解，如何画图。
WPF绘图上下文类为DrawingContext，这个类有一个绘图函数
public abstract void DrawGeometry(Brush brush, Pen pen, Geometry geometry);
这个函数很简单，但是这个函数可以画任意图形；因为Geometry 类功能太强大了，这个类可以描述任意几何形状。看一下如下代码：
void AddArc(PathGeometry pathGeometry, System.Windows.Point point1, System.Windows.Point point2, double bulge, double radius) { PathFigure pathFigure = new PathFigure(); pathFigure.StartPoint = point1;//起点 ArcSegment arcSegment = new ArcSegment(); arcSegment.Point = point2; //终点 //半径 arcSegment.Size = new System.Windows.Size(radius, radius); //对应的角度 double radian = Math.Atan(bulge) * 4; double angle = radian * 180 / Math.PI; arcSegment.RotationAngle =Math.Abs(angle); //弧度的方向 顺时针还是逆时针 arcSegment.SweepDirection = bulge>0? SweepDirection.Clockwise:SweepDirection.Counterclockwise; //是否大于180度 arcSegment.IsLargeArc = Math.Abs(bulge) > 1; pathFigure.Segments.Add(arcSegment); pathGeometry.Figures.Add(pathFigure); }
上述代码根据两点、凸度、圆半径来实现画图。（半径是根据前三个计算出来的，后面会讲该算法）
一个PathGeometry由一个或多个图形暨PathFigure组成。PathFigure 就是一系列封闭或不封闭的线段或弧线组成。ArcSegment 代表一个弧线，将其加入到PathFigure，再将PathFigure加入到Geometry ，这样就可以根据DrawGeometry画出弧线了。函数有注释，非常容易理解。
ArcSegment 还有一个参数就是圆的半径。其实根据两点、’凸度就可推导出半径，不知道为什么ArcSegment 不替我们计算出来。下面讲一下如何计算半径。
3 根据凸度计算半径
public static double CalBulgeRadius(System.Windows.Point point1, System.Windows.Point point2, double bulge) { //计算顶点角度 double cicleAngle = Math.Atan(bulge) * 4; //两点之间的距离 double pointLen = ImageHelper.CalPointLen(point1, point2); //根据正玄值反推 double radius = (pointLen / 2) / Math.Sin(cicleAngle / 2); return Math.Abs(radius); }
看左图，可知：顶点对应的角度的一半的正玄值就是 两点之间的长度除以半径。根据这一点就可以算出半径。
3 计算圆点
上述函数虽然可以画出圆弧，但是我们还是不知道圆心坐标。这里将一下如何推导出圆心坐标。
这里有一个概念就是旋转，将求解圆心坐标分为两个步骤。第一步在两点之间取一点（点3），该点到点1的长度为半径；第二步，将此点旋转一定角度，就得到圆心坐标。
求点3：
//两点之间的距离 double pointLen = ImageHelper.CalPointLen(point1, point2); //半径与两点之间距离的比值 double lenRate = radius / pointLen; System.Windows.Point midPoint = ImageHelper.GetMidPoint(point1, point2, lenRate);
internal static System.Windows.Point GetMidPoint(System.Windows.Point pt1, System.Windows.Point pt2, double lenRate) { Debug.Assert(lenRate>=0); if (lenRate == 1) return pt2; if (lenRate == 0) return pt1; System.Windows.Point result = new System.Windows.Point(); result.X = pt1.X + lenRate * (pt2.X - pt1.X); result.Y = pt1.Y + lenRate * (pt2.Y - pt1.Y); return result; }
根据几何知识，可以得知：半径与两点之间的比率与点3的X坐标与两点的X坐标比率一样，这样就能求出X坐标。同理，可以求出Y坐标。
旋转：
点3以点1位圆心，旋转一定角度，点3就落在圆心上了。旋转的角度不难计算，顶点角度已知，又是等腰三角形，所以三角形的底角很容易算出。
旋转计算涉及二维向量运算，不过.NET为我们提供了类Matrix。
public static System.Drawing.Point RotationAt(System.Drawing.Point pointMove, System.Drawing.Point removeAt, double rotateAngle, bool clockwise) { if (rotateAngle == 0) return pointMove; lock (matrix) { matrix.Reset(); //设置旋转的角度 matrix.Rotate((float)(clockwise ? rotateAngle : -rotateAngle)); //相对于removeAt旋转 System.Drawing.Point pt2 = new System.Drawing.Point(pointMove.X - removeAt.X, pointMove.Y - removeAt.Y); System.Drawing.Point[] pts = new System.Drawing.Point[] { new System.Drawing.Point(pt2.X, pt2.Y) }; matrix.TransformPoints(pts); //再变换到圆点位置 System.Drawing.Point result = new System.Drawing.Point(pts[0].X + removeAt.X, pts[0].Y + removeAt.Y); return result; } }
后记：在二维坐标上画图，需要有一定的几何基础和空间想象能力。初始接触这类编程，还是有一定难度的。就需要我们补充一些几何知识，同时多思考，总有一天会感觉豁然开朗。