[信号] 傅里叶变换，拉普拉斯变换，DTFT变换，Z变换的关系

1.傅里叶变换是拉普拉斯的特殊情况。
只有绝对可积的连续信号才有傅里叶变换，那么那些不满足绝对可积的信号怎么办呢？只要以傅里叶变换为基础，在 e−jΩt $e^{-j\mathrm{\Omega }t}$ 上乘以 e−σt $e^{-\sigma t}$ 就行了(因为 e−σt $e^{-\sigma t}$ 随t增大而快速趋于0),即 s=σ+jΩ $s=\sigma +j\mathrm{\Omega }$。当 σ=0 $\sigma =0$ 时，又变成了傅里叶变换，所以说傅里叶变换是拉普拉斯变换的特殊情况。在图像上，傅里叶变换的值就等于拉普拉斯变换虚轴上的值。

2.DTFT是Z变换的特殊情况。
只有绝对可和的离散信号才有DTFT，所以和上面一样，Z变换用于那些不满足绝对可和的信号， z=eσT+jΩT $z=e^{\sigma T+j\mathrm{\Omega }T}$ (T是采样间隔)，当 σ=0 $\sigma =0$ 时,就是DTFT了。在图像上，DTFT就是Z平面上半径为‘ e0=1 $e^0=1$’ 的圆上的值。

3.S域(拉普拉斯变换域）和 Z域 的关系
S域上与纵轴平行的直线 σ=a $\sigma =a$,在Z域上即半径为 ea $e^a$ 的圆；
S域上与横轴平行的直线 Ω=aπ/T $\mathrm{\Omega }=a\pi /T$,在Z域上是 ω=aπ $\omega =a\pi$ 的射线。

4.为什么Z平面要设计成圆而不像S片面一样用正交的 σ $\sigma$ 轴和 jΩ $j\mathrm{\Omega }$ 轴？
因为离散信号的频谱是周期的，这时候在S域表示就是无数条直线，但在Z域上，在圆上表示，用旋转就可很好的反映出周期性。