Leetcode.877 石子游戏

时间:2021-05-18 01:17:00

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Leetcode.877 石子游戏 Rating : 1590

题目描述

Alice 和 Bob 用几堆石子在做游戏。一共有偶数堆石子,排成一行;每堆都有 整数颗石子,数目为 piles[i]

游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的 总数奇数 ,所以没有平局。

Alice 和 Bob 轮流进行,Alice 先开始 。 每回合,玩家从行的 开始结束 处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止,此时手中 石子最多 的玩家 获胜 。

假设 Alice 和 Bob 都发挥出最佳水平,当 Alice 赢得比赛时返回 true,当 Bob 赢得比赛时返回 false

示例 1:

输入:piles = [5,3,4,5]
输出:true
解释:
Alice 先开始,只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗,这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果 Bob 拿走前 3 颗,那么剩下的是 [4,5],Alice 拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果 Bob 拿走后 5 颗,那么剩下的是 [3,4],Alice 拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明,取前 5 颗石子对 Alice 来说是一个胜利的举动,所以返回 true 。

示例 2:

输入:piles = [3,7,2,3]
输出:true

提示:

  • 2 < = p i l e s . l e n g t h < = 500 2 <= piles.length <= 500 2<=piles.length<=500
  • piles.length 是 偶数
  • 1 < = p i l e s [ i ] < = 500 1 <= piles[i] <= 500 1<=piles[i]<=500
  • sum(piles[i])奇数

解法:区间dp

我们定义 f ( i , j ) f(i,j) f(i,j) 为在区间 [ i , j ]中,先手后手 多的最大石子数量。就是先手获得的石子数量 与 后手获得石子数量的最大差值。

对于案例1 piles = [3,7,2,3]

我们的答案就是 f ( 0 , 3 ) ≥ 0 f(0,3) \geq 0 f(0,3)0。因为 f ( 0 , 3 ) f(0,3) f(0,3)就代表在 [0 , 3]区间内,先手(Alice)比 后手(Bob)多的最大石子数量。对于整个区间 [0 , 3] f ( 0 , 3 ) ≥ 0 f(0,3) \geq 0 f(0,3)0,说明 Alice 能拿的石子 比 Bob多,所以返回 true

对于区间 [i , j],Alice有两种选择:要么拿 piles[i]和要么拿 piles[j]

  • Alice拿piles[i],那么对于 Bob 就只能拿 [i + 1 , j]区间的石子。注意,在此时新局面 [i + 1 , j],Bob就变为了先手,而 Alice 变为了后手。那么 f ( i + 1 , j ) f(i + 1,j) f(i+1,j)就代表,Bob取得的石子数量 和 Alice 取得的石子数量的最大差值。 所以对于整体的 f ( i , j ) = p i l e s [ i ] − f ( i + 1 , j ) f(i,j) = piles[i] - f(i+1,j) f(i,j)=piles[i]f(i+1,j)
  • Alice拿piles[j],那么对于 Bob 就只能拿 [i , j - 1]区间的石子。注意,在此时新局面 [i , j - 1],Bob就变为了先手,而 Alice 变为了后手。那么 f ( i , j − 1 ) f(i , j - 1) f(i,j1)就代表,Bob取得的石子数量 和 Alice 取得的石子数量的最大差值。 所以对于整体的 f ( i , j ) = p i l e s [ j ] − f ( i , j − 1 ) f(i,j) = piles[j] - f(i, j - 1) f(i,j)=piles[j]f(i,j1)

我们对这两种选择,取最大值 f ( i , j ) = m a x ( p i l e s [ i ] − f ( i + 1 , j ) , p i l e s [ j ] − f ( i , j − 1 ) ) f(i,j) = max(piles[i] - f(i+1,j) , piles[j] - f(i, j - 1)) f(i,j)=max(piles[i]f(i+1,j),piles[j]f(i,j1))

时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)

C++代码:

class Solution {
public:
    bool stoneGame(vector<int>& piles) {
        int n = piles.size();

        int f[n][n];
        memset(f,0,sizeof f);

        for(int i = n-1;i >= 0;i--){
            for(int j = i + 1;j < n;j++){
                if(i == j){
                    f[i][j] = piles[i-1];
                    continue;
                }
                f[i][j] = max(piles[i]  - f[i+1][j] , piles[j] - f[i][j-1]);
            }
        }

        return f[0][n-1] >= 0;
    }
};