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Leetcode.877 石子游戏 Rating : 1590
题目描述
Alice 和 Bob 用几堆石子在做游戏。一共有偶数堆石子,排成一行;每堆都有 正 整数颗石子,数目为 piles[i]
。
游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的 总数 是 奇数 ,所以没有平局。
Alice 和 Bob 轮流进行,Alice 先开始 。 每回合,玩家从行的 开始 或 结束 处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止,此时手中 石子最多 的玩家 获胜 。
假设 Alice 和 Bob 都发挥出最佳水平,当 Alice 赢得比赛时返回 true
,当 Bob 赢得比赛时返回 false
。
示例 1:
输入:piles = [5,3,4,5]
输出:true
解释:
Alice 先开始,只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗,这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果 Bob 拿走前 3 颗,那么剩下的是 [4,5],Alice 拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果 Bob 拿走后 5 颗,那么剩下的是 [3,4],Alice 拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明,取前 5 颗石子对 Alice 来说是一个胜利的举动,所以返回 true 。
示例 2:
输入:piles = [3,7,2,3]
输出:true
提示:
- 2 < = p i l e s . l e n g t h < = 500 2 <= piles.length <= 500 2<=piles.length<=500
- piles.length 是 偶数
- 1 < = p i l e s [ i ] < = 500 1 <= piles[i] <= 500 1<=piles[i]<=500
-
sum(piles[i])
是 奇数
解法:区间dp
我们定义
f
(
i
,
j
)
f(i,j)
f(i,j) 为在区间 [ i , j ]
中,先手 比 后手 多的最大石子数量。就是先手获得的石子数量 与 后手获得石子数量的最大差值。
对于案例1 piles = [3,7,2,3]
,
我们的答案就是
f
(
0
,
3
)
≥
0
f(0,3) \geq 0
f(0,3)≥0。因为
f
(
0
,
3
)
f(0,3)
f(0,3)就代表在 [0 , 3]
区间内,先手(Alice)比 后手(Bob)多的最大石子数量。对于整个区间 [0 , 3]
,
f
(
0
,
3
)
≥
0
f(0,3) \geq 0
f(0,3)≥0,说明 Alice 能拿的石子 比 Bob多,所以返回 true
。
对于区间 [i , j]
,Alice有两种选择:要么拿 piles[i]
和要么拿 piles[j]
。
- Alice拿
piles[i]
,那么对于 Bob 就只能拿[i + 1 , j]
区间的石子。注意,在此时新局面[i + 1 , j]
,Bob就变为了先手,而 Alice 变为了后手。那么 f ( i + 1 , j ) f(i + 1,j) f(i+1,j)就代表,Bob取得的石子数量 和 Alice 取得的石子数量的最大差值。 所以对于整体的 f ( i , j ) = p i l e s [ i ] − f ( i + 1 , j ) f(i,j) = piles[i] - f(i+1,j) f(i,j)=piles[i]−f(i+1,j)。 - Alice拿
piles[j]
,那么对于 Bob 就只能拿[i , j - 1]
区间的石子。注意,在此时新局面[i , j - 1]
,Bob就变为了先手,而 Alice 变为了后手。那么 f ( i , j − 1 ) f(i , j - 1) f(i,j−1)就代表,Bob取得的石子数量 和 Alice 取得的石子数量的最大差值。 所以对于整体的 f ( i , j ) = p i l e s [ j ] − f ( i , j − 1 ) f(i,j) = piles[j] - f(i, j - 1) f(i,j)=piles[j]−f(i,j−1)。
我们对这两种选择,取最大值 f ( i , j ) = m a x ( p i l e s [ i ] − f ( i + 1 , j ) , p i l e s [ j ] − f ( i , j − 1 ) ) f(i,j) = max(piles[i] - f(i+1,j) , piles[j] - f(i, j - 1)) f(i,j)=max(piles[i]−f(i+1,j),piles[j]−f(i,j−1))。
时间复杂度: O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)
C++代码:
class Solution {
public:
bool stoneGame(vector<int>& piles) {
int n = piles.size();
int f[n][n];
memset(f,0,sizeof f);
for(int i = n-1;i >= 0;i--){
for(int j = i + 1;j < n;j++){
if(i == j){
f[i][j] = piles[i-1];
continue;
}
f[i][j] = max(piles[i] - f[i+1][j] , piles[j] - f[i][j-1]);
}
}
return f[0][n-1] >= 0;
}
};