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数字基带传输系统设计
一、项目原理概述
1.1基带信号概念描述
基带信号是由信源产生的，没有经过调制，包含了要传输的信息的信号。
1.2数字基带传输系统概念描述
在某些具有低通特性的有线信道中，特别是在传输距离不太远的情况下，基带信号可以不经过载波调制而直接进行传输，这样的传输系统，称为数字基带传输系统。
1.3数字基带传输系统框图（AWGN信道）
图 1 数字基带传输系统框图（使用drawio绘制）
（1）发送滤波器（信道信号形成器）：将发送的码元映射为基带波形，产生适合信道传输的基带信号波形。发送滤波器用于压缩输入信号频带，将传输码变换为适宜于信道传输的基带信号波形。
（2）传输信道：允许基带信号通过的媒介，一般会产生噪声造成信号衰减。对于AWGN信道，是加性的零均值符合高斯分布的噪声。
（3）接受滤波器：用来接收信号，尽可能滤除信道噪声和ISI对系统性能的影响，对信道特性进行平衡，使输出的基带波形有利于抽样判决。
（4）抽样判决器：在传输特性不理想及噪声背景下，在特定抽样时刻对接收滤波器输出波形进行抽样判决，以恢复或再生基带信号。
（5）位定时提取（定时脉冲和同步提取）：用来抽样的位定时脉冲依靠同步提取电路从接收信号中提取信号，位定时的准确与否将直接影响判决效果。
二、相关代码设计思路及代码实现
2.1滤波器部分
2.1.1 根升余弦匹配滤波型
1.设计原理
确定理想升余弦滤波器的频域表达式，对给定的理想滤波器的频率响应进行抽样，其中频率抽样间隔
对幅度响应进行离散傅里叶反变换，并取实部即可。我们针对公式进行了代码的编写。
这里离散傅里叶反变换公式如下：
2.流程图
图2 频率抽样法设计FIR平方根升余弦滤波器流程
3.代码实现
% 采用频率抽样法设计平方根升余弦特性的匹配滤波器
% alpha:滚降因子
% L:为FIR滤波器的长度
function SendFilter=MatchSendFilter(alpha,L)
Tc = 4;
fs = 1;% 抽样频率为1
for m = 1 : L
n = abs(fs * (m - (L - 1) / 2) / L);
if n <= (1 - alpha) / 2 / Tc
Hd(m) = sqrt(Tc);
elseif n > (1 - alpha) / 2 / Tc && n <= (1 + alpha) / 2 / Tc
Hd(m) = sqrt(Tc / 2 * (1 + cos(pi * Tc / alpha * (n - (1 - alpha) / 2 / Tc))));
elseif n > (1 + alpha) / 2 / Tc
Hd(m) = 0;
end
end
% 离散傅里叶反变换
for n=0:M-1
hn(n+1)=0;
for k=0:N-1
hn(n+1)=hn(n+1)+H(k+1)*exp(1j*2*pi/M*(n+1)*(k+1));
end
hn(n+1)=1/M*hn(n+1);
SendFilter(m) = hn(n+1);
end
SendFilter = real(SendFilter);
fid=fopen('sendfilter.bin.txt','w'); %将滤波器的单位冲激响应的有关参数存入文件?
fwrite(fid,SendFilter,'double');
fclose(fid);
end2.1.2 根升余弦匹配滤波型
1.设计原理
利用窗函数设计FIR数字滤波器是在时域上进行的。Blackman窗的时域表达式为
由升余弦滚降滤波器的单位冲激响应得到FIR滤波器的设计公式为：
由此得到关于原点偶对称的有限长单位冲激响应，将其向右移位
2.流程图
图3 用窗函数法设计FIR升余弦滚降滤波器流程图
3.代码实现
% 采用窗函数设计法设计升余弦特性的非匹配滤波器
% alpha:滚降因子
% L:为FIR滤波器的长度
function SendFilter=NonMatchSendFilter(alpha,L)
Tc=4;
n=-(L-1)/2:(L-1)/2;
A=sin(pi*n/Tc);
B=pi*n/Tc;
C=cos(alpha*pi*n/Tc); D=1-4*alpha^2*n.^2/Tc^2; hd=A./B.*C./D;
hd((L+1)/2)=1;
SendFilter=rand(length(hd));
for n=0:L-1
w=0.42-0.5*cos(2*pi*n/(L-1))+0.08*cos(4*pi*n/(L-1)) %Blackman窗
SendFilter(n+1)=hd(n+1)*w;
end
fid=fopen('sendfilter.txt','w'); %将滤波器的单位冲激响应的有关参数存入文件
fwrite(fid,SendFilter,'double'); %写入数据
fclose(fid);
end2.2 数字基带系统部分
2.2.1发送信号生成
1.设计原理
输入参数:N:传输码元个数 A:一个比特周期的抽样点数SourceOutput:双极性二进制信源输出 输出参数:ProcessedSource:发送滤波器输入信号
传入发送滤波器的信号为生成的双极性二进制信号经抽样后的，抽样公式为
序列只在
2.代码实现
function an = SourceSignal(N)
%function an = SourceSignal(N,seed)
%双极性信源信号产生输入参数为N，seed为随机种子，控制随机数的生成
%rng(seed)
an =rand(1,N);
for i = 1:N
if an(i)< 0.5
an(i)=-1;
elseif an(i)>=0.5
an(i)=1;
end
end
end2.2.2信源输出
1.设计原理
输入参数：N：传输码元个数
输出参数：SourceOutput:生成的双极性二进制信源
输入为要生成的序列的长度N，利用matlab中的rand函数产生范围在0到1的有L个随机数的序列，再经过判断，将随机序列中大于0.5的输出1，小于0.5的输出-1。针对码元个数，定义1×A*L的序列dn，对矩阵dn每隔A插入数值，这样就发送了完整的信号。
2.代码实现
function dn=SendSignal(an,A)
%发送信号生成
%输入参数为双极性信源信号an，A为一个比特周期的抽样点数
L=length(an);%获取序列的码元个数
dn=zeros(1,A*L);
for i=1:L
dn(A*(i-1)+1)=an(i);%插入零点
end
end2.2.3信道噪声信号
1.设计原理
输入参数：SNR:
信噪比 ChannelInput:发送滤波器输出信号
输出参数：Noise:产生的信道噪声
已知信噪比 SNR 和平均比特能量
2.代码实现
% 信道噪声信号的产生
% SNR:信噪比
% ChannelInput:发送滤波器输出信号
function Noise=GuassNoise(SNR,ChannelInput)
L = length(ChannelInput);
Eb = 0;
for i = 1 : L
Eb = Eb + ChannelInput(i)^2;
end
Eb = Eb / L;
% 通过信噪比和计算出的平均每比特能量Eb来计算N0
N0 = Eb / (10^(SNR / 10));
% 计算出噪声的功率谱密度，开方
StandardDeviation = sqrt(N0 / 2);
Noise = 0 + StandardDeviation * randn(1,L);
end2.2.4眼图绘制
1.设计原理
输入参数： ReceiveFilterOutput:接收滤波器输出信号 A:一个比特周期内的抽样点数 N：传输码元个数 输出参数：每屏信号显示4个码元周期的眼图
眼图可以理解为一系列信号在示波器的叠加
2.流程图
图4 眼图绘制流程图
3.代码实现
%眼图的绘制，每屏显示4个码元周期的眼图
% A:一个比特周期内的抽样点数
% N:传输码元个数
%ReceiveFilterOutput:接收滤波器输出信号
function EyeDiagram(A,N,ReceiveFilterOutput)
figure;
for i = 1 : 4 : N / 4
EyePattern = ReceiveFilterOutput((i - 1) * A + 1 : (i + 3) * A);
plot(EyePattern,'b');
hold on
end
title('眼图');
end2.2.5 抽样信号与判决信号的产生
1.设计原理
输入参数：A：一个比特周期内的抽样点数 N：传输码元个数 ReceiveFilterOutput:接收滤波器输出信号
输出参数：SamplingSignal:抽样信号 JudgingSignal:判决信号
对接收滤波器输出信号进行抽样判决：先在接收滤波器输出信号的对应点处抽样得到抽样信号。再对抽样信号以零为门限进行判决，大于等于0则判决为1，小于零则判决为-1。
2.代码实现
%抽样信号和判决信号的生成
% A:一个比特周期内的抽样点数
% N:传输码元个数
%ReceiveFilterOutput:接收滤波器输出信号
function [JudgingSignal,SamplingSignal] = JudgeAndSample(A,N,ReceiveFilterOutput)
for i = 0 : N - 1
SamplingSignal(i + 1) =
ReceiveFilterOutput(A * i + 1);
if SamplingSignal(i + 1) >= 0
JudgingSignal(i + 1) = 1;
elseif SamplingSignal(i + 1) < 0
JudgingSignal(i + 1) = -1;
end
end
end2.2.6星座图的绘制
1.设计原理
输入参数：SamplingSignal:抽样后得到的信号 输出：星座图
将在发送序列SourceOutput为1时对应的抽样序列的值放入序列strong（i）中，-1对应的抽样序列值放入weak（i）中，绘制两个序列的散点图。在Matlab中可用scatterplot函数绘制星座图。点越接近1或-1证明受到噪声的干扰越小。
2.流程图
图5 星座图流程图
3.代码实现
% 星座图的绘制
% SamplingSignal:抽样后得到的信号
function StarsDiagram(SamplingSignal)
N = length(SamplingSignal);
m = 1;
n = 1;
for i = 1 : N
if SamplingSignal(i) < 0
weak(m) = SamplingSignal(i);
m = m + 1;
elseif SamplingSignal(i) >= 0
strong(n) = SamplingSignal(i);
n = n + 1;
end
end
figure
plot(weak,zeros(1,length(weak)),'.r');
hold on
plot(strong,zeros(1,length(strong)),'.b');
title('星座图');
end三、性能测试
3.1 滤波器性能测试
据前面原理所述, FIR 滤波器的群延时为
3.1.1 滤波器时域特性研究
（一）改变滤波器滚降系数, 观察两种发送滤波器的时域单位冲激响应波形的特点（见表 1)。
分析: 改变滤波器滚降系数, 从 0 和 1 之间以 0.1 为步长逐渐增大, 分别得到匹配滤波器 和非匹配滤波器的单位冲激响应波形图, 观察到, 两种波形都是关于对称中心
表 1 N=31时改变
非匹配滤波器 |
匹配滤波器 |
|
0.1 |
||
0.9 |
（二）改变滤波器长度，观察两种发送滤波器的时域单位冲激响应波形的特点。
分析：改变滤波器的长度，使其在31~51之间以2为步长增大，分别绘制出不同滤波器长度下两种滤波器单位冲激响应波形。
观察得到，当
3.1.2滤波器频域特性研究
（一）从图像研究滚降系数对于滤波器频域特性的影响（见表2与表3）。
改变
代码实现：
% freqz的for循环实现
function [Hf,w] = freqz(N,hn)
w=0:0.01*pi:pi;
L=length(w);
Hf=zeros(1,L);
for w=1:L
for n=1:N
Hf0=hn(n)*exp(-j*(pi*((w-1)/(L-1)))*(n-((N+1)/2)));
Hf(w)=Hf0+Hf(w);
end end
Hf=real(Hf);
y=abs(Hf);
%归一化
y=(y-min(y))/(max(y)-min(y));
w=0:0.01*pi:pi;
plot(w,y);
title(['滤波器归一化幅频特性曲线'])
axis([0 pi 0 1]);
plot(w,20*log10(y));
title('滤波器归—化增益曲线')
end表 2
非匹配滤波器 |
匹配滤波器 |
|
归一化幅频特性曲线 |
||
归一化增益曲线 |
表 3
非匹配滤波器 |
匹配滤波器 |
|
归一化幅频特性曲线 |
||
归一化增益曲线 |
（二）从图像研究滤波器长度对滤波器频域特性的影响
改变N，分别绘制非匹配滤波器和匹配滤波器的归一化幅频特性、增益曲线。从频域分析，非匹配滤波器的性能要优于匹配滤波器。改变N值对滤波器特性影响不大。
（三）具体数据研究滚降系数、滤波器长度对滤波器特性的影响
（1）升余弦滚降滤波器（非匹配型）性能研究
改变滤波器长度，使其在31\51间取10个点，改变滚降系数，使其在0\1之间取10个点，测量滤波器的第一零点带宽和阻带最小衰减。
由测量数据可分析得，(1)横向比较，当N不变，随着α的增大，第一零点带宽和阻带最小衰减都增大，且增加效果比较明显，但是在α=0.2时是一个特殊的点，其值突然减小。（2）纵向比较，当α不变，随着N的增大，阻带最小衰减有所增加，但增量较小，而第一零点带宽有点波动。
具体数据见表 4。
理论上计算第一零点带宽的公式为:
代码实现:
%%测试滚降系数α
N=31;
for a=0.05:0.1:0.95
%%测试滤波器长度N
%a=0.5;
%for N = 31:2:51
%h=MatchSendFilter(a,N);%测试匹配滤波器
h=NonMatchSendFilter(a,N);%测试非匹配滤波器
[Hw,w]=freqz(N,h);
%%求第一零点带宽
wq=min(w):max(w)/length(w)/1000:max(w);
%对幅频响应进行插值，可得到多的点，结果更为精确
Hx=interp1(w,Hw,wq);
for i=2:length(Hx) if((abs(Hx(i))<abs(Hx(i-1)))&&(abs(Hx(i))<abs(Hx(i+1)))&&(abs(Hx(i))<0.1))
disp(['第一零点带宽为',num2str(wq(i)),'rad/s']);
break;
end
end
%%求阻带最小衰减
dbi=20*log(abs(Hx)/max(abs(Hx)));
for j = i:length(dbi)
if((dbi(j)>dbi(j-1))&&(dbi(j)>dbi(j+1)))
disp(['阻带最小衰减为',num2str(dbi(j)),'dB']);
break;
end
end
fprintf('\n');
end表 4滚降系数、滤波器长度对非匹配滤波器影响测试结果
N=31 |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
|
第一零点带宽(Hz) |
0.240 |
0.240 |
0.198 |
0.243 |
0.250 |
0.268 |
0.279 |
0.291 |
0.303 |
0.315 |
|
阻带最小衰减(dB) |
75.25 |
76.37 |
41.15 |
85.62 |
24.92 |
97.12 |
99.64 |
103.87 |
105.10 |
107.18 |
N=35 |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
|
第一零点带宽(Hz) |
0.228 |
0.228 |
0.189 |
0.233 |
0.250 |
0.257 |
0.269 |
0.282 |
0.293 |
0.306 |
|
阻带最小衰减(dB) |
75.33 |
76.79 |
36.84 |
89.07 |
24.06 |
98.85 |
103.71 |
105.44 |
108.10 |
110.08 |
N=43 |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
|
第一零点带宽(Hz) |
0.208 |
0.208 |
0.180 |
0.219 |
0.250 |
0.244 |
0.256 |
0.267 |
0.279 |
0.292 |
|
阻带最小衰减(dB) |
75.31 |
77.53 |
32.06 |
96.15 |
23.05 |
104.27 |
106.20 |
109.75 |
111.47 |
111.97 |
N=51 |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
|
第一零点带宽(Hz) |
0.195 |
0.194 |
0.177 |
0.211 |
0.250 |
0.234 |
0.246 |
0.258 |
0.271 |
0.283 |
|
阻带最小衰减(dB) |
75.30 |
78.47 |
29.55 |
97.38 |
22.49 |
106.00 |
109.98 |
112.04 |
112.03 |
112.03 |
（2）平方根升余弦滤波器（匹配型）性能研究
改变滤波器长度，使其在31\51间取10个点，改变滚降系数，使其在0\1之间取10个点，测量滤波器的第一零点带宽和阻带最小衰减。测量数据如表5所示。
由测量数据可分析得，当N不变，随着α的增大，第一零点带宽增大，阻带最小衰减虽有波动，但总体呈现增长趋势。相比较之下，当α不变，随着N的增大，第一零点带宽和阻带最小衰减都有所波动，但整体呈增加的趋势。
表 5 滚降系数、滤波器长度对匹配滤波器的影响测试结果
N=31 |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
|
第一零点带宽(Hz) |
0.129 |
0.161 |
0.161 |
0.163 |
0.193 |
0.194 |
0.211 |
0.226 |
0.226 |
0.258 |
|
阻带最小衰减(dB) |
16.69 |
29.64 |
24.45 |
25.53 |
41.48 |
30.48 |
42.68 |
38.85 |
32.09 |
58.13 |
N=35 |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
|
第一零点带宽(Hz) |
0.143 |
0.143 |
0.161 |
0.171 |
0.179 |
0.200 |
0.200 |
0.229 |
0.229 |
0.257 |
|
阻带最小衰减(dB) |
16.96 |
17.01 |
33.28 |
29.94 |
34.99 |
38.47 |
30.19 |
48.71 |
34.58 |
54.12 |
N=41 |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
|
第一零点带宽(Hz) |
0.146 |
0.146 |
0.154 |
0.171 |
0.182 |
0.195 |
0.208 |
0.219 |
0.235 |
0.244 |
|
阻带最小衰减(dB) |
17.14 |
19.09 |
31.50 |
31.24 |
39.60 |
35.45 |
44.74 |
37.91 |
48.96 |
39.56 |
N=51 |
0 |
0.1 |
0.2 |
0.3 |
0.4 |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
|
第一零点带宽(Hz) |
0.137 |
0.138 |
0.157 |
0.175 |
0.177 |
0.196 |
0.207 |
0.216 |
0.235 |
0.240 |
|
阻带最小衰减(dB) |
17.30 |
18.48 |
30.89 |
45.73 |
31.18 |
41.67 |
46.75 |
37.52 |
49.96 |
45.15 |
（3）升余弦滤波器、平方根升余弦滤波器第一零点带宽图像对比（见图6）。
理论上计算第一零点带宽的公式为:
图6平方根升余弦、升余弦滤波器第一零点带宽对比图
3.2 数字基带系统性能测试
3.2.1 码间干扰的研究
这里我们主要验证无码间干扰条件。这里我们使用非匹配滤波型滤波器进行测试, 不失 一般性, 滤波器参数选择为
1.假设加性噪声不存在, 传输比特速率是
图7
2.假设加性噪声不存在，传输1000个二进制比特，基带系统不采用匹配滤波器，比特间隔为Tb=3T,Tb=5T,Tb=8T,画出接收滤波器的输出信号波形和眼图，判断有无码间干扰。从理论方面解释实验现象。抽样后进行判决，计算误比特率。得到的眼图与星座图见图8。
图8 眼图与星座图（从左至右每列
实际分析:
(1) 观察上图中不同码元周期下输出信号的眼图, 当码元周期从 3s 开始增加时, 输出 信号的眼图成型越来越好, 但是在
(2) 在实际分析中, 我们尝试了使码元周期不变, 而改变升余弦滤波器的滚降系数, 发 现了一个有趣的现象。随着滚降因数的增加, 会出现 “眼皮变薄” 的有趣现象。如图 9 所示:
图9
分析：
（1）根据奈奎斯特第一准则：
根据公式, 当码元速率越大时, 滤波器频谱平移越大, 判决码间干扰的区间也越大, 与 此相对应, 当码元速率越小时, 频谱平移越小, 受到干扰的区间也越小, 而且当
所以当码元周期太小时, 无法满足
(2) 随着滚降因子的增大, 升余弦滚降滤波器的旁瓣逐渐减弱, 旁瓣衰减逐渐增大, 在码元周期不变的情况下, 抽样得到的信号旁瓣逐渐减弱, 在眼图中显示出 “眼皮变薄”。
3.2.2 噪声对系统的影响
我们仅研究无码间干扰情况下噪声对系统的影响, 结合前一节的讨论, 传输 1000 个二进制比特, 取
我们先从直观的星座图与眼图入手, 传输 1000 个比特, 取 SNR 分别为
表 升余弦和根升余弦的抗噪性能对比（
SNR/系统 |
非匹配模式 |
匹配模式 |
1dB |
误码率：2% |
误码率：0 |
10dB |
误码率：0 |
误码率：0 |
20dB |
误码率：0 |
误码率：0 |
SNR/系统 |
非匹配模式 |
匹配模式 |
1dB |
||
10dB |
||
20dB |
理论分析：
（1）非匹配滤波型系统误比特率更高，而匹配滤波型误比特率较低，且与理论值吻合较好。这与匹配滤波型滤波器的性质有关——在信号受到加性高斯白噪声的破坏时，脉冲响应与信号相匹配的滤波器可使抽样点处输出信噪比最大。
（2）虽然星座图中散点并不聚拢于1和-1，但是因为发送信号是双极性信号，判决门限为0，对于干扰的容限大，所以判决得到的误码率任然为0。如果发送信号为单极性信号，判决门限为0.5，对于干扰的容限小，相同星座图的聚散程度下，单极性信号误码率要大于双极性信号。
实际分析：
（1）随着信号信噪比的增大，匹配模式和非匹配模式的误码率都逐渐减少，最后为0，并且星座图越聚拢于x=1和-1的点。
（2）相同的信噪比下，匹配模式比非匹配模式的系统误码率更低，星座图的散点更聚拢于x=1和-1的点。
（3）眼图的眼睛张开越大信息的传输质量越高。
四、遇到的问题与解决方案
1、用窗函数法设计FIR滤波器时，若分母为0，则会溢出，利用Matlab编程计算时会得到不符合预期的结果，此时绘出的单位冲击响应如图10所示。
图 10不考虑分母为0的点时的单位冲激响应
图 11问题得到解决后的单位冲击响应
为了解决分母为 0 溢出的问题, 我们提出了如下解决方案。
利用洛必达法则。当
而升余弦滤波器的单位冲击响应在
hd((L+1)/2)=1;
if mod (2, alpha)==0
hd (2/alpha+ (L+1)/2)=alpha/2*sin (pi/2/alpha);
hd (-2/alpha+ (L+1)/2) =alpha/2*sin (pi/2/alpha);
end2、第一零点带宽和阻带最小衰减的测量。
第一零点带宽测量的代码设计利用了Matlab中的find函数，寻找幅频特性上第一个十分接近0的点，当幅值小于一个很小的数时，可近似认为其为0，为实现高精度的测量，应选取尽量多的点数。寻找阻带最小衰减的方法为从该点开始，寻找半个阻带内幅频特性的最大值。
编程实现：
[X,w]=freqz(SendFilter,1,5000000,'whole');
BWPosition=find(abs(X)<0.00001,1,'first');
BW=w(BWPosition)/(2*pi);
As=20*log10(max(abs(X(BWPosition:round(length(X)/2))))/max(abs(X)));4、matlab数组和信号点的对应问题
由于Matlab程序中数组下标是从1开始的，离散信号中每个点都是从0开始的，尤其是要在模拟滤波器数字化的时候，进行频谱周期延拓时特别关注这点。