前言
约数和质数一样在蓝桥杯考试中是在数论中考察频率较高的一种，在省赛考察的时候往往就是模板题，难度大一点会结合其他知识点考察，但是仍然会用到模板，这里有三大模板，第一个是试除法求约数个数，第二个是求约数个数，第三个是求约数的和(来自y总的三个模型）
一、约数是什么
约数(约数的含义是什么) 1、意思 1.大约的数目。 2.一个数能够整除另一数，这个数就是另一数的约数。如2，3，4，6都能整除12，因此2，3，4，6都是12的约数。也叫因数。最后俩个都插到这个动态数组中，但是注意
二、三大模板
1、试除法求约数个数
算法思想：算x的约数，对 小于等于x的根号数求约数，当你求得一个约数，对应的也有另一个数是约数，就比如算12的约数，当算出3是约数,可得 4（12/ 3）也是12的约数。但是注意如果16的约数4对应的约数还是4不能在被放进去，所以要加一个特判
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
vector<int> get_divisors(int n)
{
vector <int> res;
for(int i = 1;i <= n / i; i ++)
{
if(n % i == 0){
res.push_back(i);
if(i != n / i) res.push_back(n/i);
}
}
sort(res.begin(),res.end());
return res;
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while(n --)
{
int x;
cin >> x;
vector <int> res;
res = get_divisors(x);
for(auto c : res)
{
cout << c << " ";
}
cout << endl;
}
}2、求约数个数
如果有一个数n，且 n = p1^c1 * p2 ^ c2 * p3 ^c3 + ...... + pn^cn;
那么它的约数个数和就等于 (c1 + 1 ) * ( c2 + 1 ) * (c3 + 1 ) ....(cn + 1);
p1^c1,这样的数就是上文中所介绍的质因数，通过求质因数，在求c1 + 1的值即可。
题目·
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long LL;
using namespace std;
int main()
{
unordered_map <int,int> primes;
int n;
cin >> n;
while (n -- )
{
int x;
cin >> x;
for(int i = 2;i <= x / i;i ++)
{
while(x % i == 0)
{
x /= i;
primes[i] ++;
}
}
if(x > 1) primes[x] ++;
}
LL res = 1;
for(auto c: primes)
{
res = res * (c.second + 1) % mod;
}
cout << res << endl;
}3、求约数之和
如果有一个数n，且 n = p1^c1 * p2 ^ c2 * p3 ^c3 + ...... + pn^cn;
那么它的约数之和为（p1^0 + p2^1 + p3 ^3 + .. +p^c1） * ... *( pn^c1 + pn^c2 +pn^c3 + ...+ pn^cn)
求解方法和上面一样，先是解出质因数，然后求出约数和的过程很巧妙，看下面代码
题目
题解
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long LL;
const int mod = 1e9 + 7;
using namespace std;
int main()
{
unordered_map<int,int> primes; //一个值存的是这个质因数，第二个存的是指数
int n;
cin >>n;
while (n -- )
{
int x;
cin >> x;
for(int i = 2;i <= x / i;i ++)
{
while(x % i == 0)
{
x /= i;
primes[i] ++ ; // 指数加一
}
}
if(x > 1) primes[x] ++;
}
LL res = 1;
for(auto c : primes)
{
int a = c.first,b = c.second;
LL t = 1;
while(b--) t = (t * a + 1) % mod;
res = res * t % mod;
}
cout << res << endl;
}最后一步为什么会用这个t ，假设开始时为
t : 1
t :p+ 1 （t = 1 *p + 1）
t : p^2 + p +1 ( t = (p+1) * p +1 )\
....
最后t : t=p^b+p^b−1+…+1
四、求最大公约数
求最大公约数，要用到欧几里得算法，就是 gcd (a,b) = gcd(b,a%b），注意b为0的时候按照欧几里得算法，b等于0，取a；
题目
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
return b ? gcd(b,a%b):a ; //b为0的时候按照欧几里得算法，b等于0，取a
}
int main()
{
int n;
cin >> n;
while(n --)
{
int a,b;
cin >> a >> b;
int t =gcd(a,b);
cout << t <<endl;
}
}
三、真题演练
2020填空题
题目
题目描述
本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。
12000001200000 有多少个约数（只计算正约数）。
运行限制
- 最大运行时间：1s
- 最大运行内存: 128M
代码
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>
const int mod = 1e9 + 7;
typedef long long LL;
using namespace std;
int main()
{
unordered_map <int,int> primes;
int x;
x = 1200000;
for(int i = 2;i <= x / i;i ++)
{
while(x % i == 0)
{
x /= i;
primes[i] ++;
}
}
if(x > 1) primes[x] ++;
LL res = 1;
for(auto c: primes)
{
res = res * (c.second + 1) % mod;
}
cout << res << endl;
}