【线段树 集合hash】bzoj4373: 算术天才⑨与等差数列

时间：2022-07-21 12:55:20

hash大法好（@ARZhu）；大数相乘及时取模真的是件麻烦事情

Description

算术天才⑨非常喜欢和等差数列玩耍。
有一天，他给了你一个长度为n的序列，其中第i个数为a[i]。
他想考考你，每次他会给出询问l,r,k，问区间[l,r]内的数从小到大排序后能否形成公差为k的等差数列。
当然，他还会不断修改其中的某一项。
为了不被他鄙视，你必须要快速并正确地回答完所有问题。
注意：只有一个数的数列也是等差数列。

Input

第一行包含两个正整数n,m(1<=n,m<=300000)，分别表示序列的长度和操作的次数。
第二行包含n个整数，依次表示序列中的每个数a[i](0<=a[i]<=10^9)。
接下来m行，每行一开始为一个数op，
若op=1，则接下来两个整数x,y(1<=x<=n，0<=y<=10^9)，表示把a[x]修改为y。
若op=2，则接下来三个整数l,r,k(1<=l<=r<=n，0<=k<=10^9)，表示一个询问。
在本题中，x,y,l,r,k都是经过加密的，都需要异或你之前输出的Yes的个数来进行解密。

Output

输出若干行，对于每个询问，如果可以形成等差数列，那么输出Yes，否则输出No。

Sample Input

5 3
1 3 2 5 6
2 1 5 1
1 5 4
2 1 5 1

Sample Output

No
Yes

题目分析

动态询问区间是否为「等差数列」。出题人用线段树维护了区间最小；区间gcd；区间……等等一系列标记。

然而HZQ给出了一个吊打出题人的做法：线段树hash。

注意到询问的区间可以视作集合形式，与顺序无关。于是便可以快速地集合hash。

具体来说用线段树维护区间最小值（用于寻找等差数列首项）；区间立方和（由费马大定理得立方和不容易被卡；不过在这题出题人并没有恶意卡平方哈希）

问题就在于如何快速验证；换句话说就是计算询问的等差数列的hash值$x^3+(x+k)^3+(x+2*k)^3+...+(x+(n-1)*k)^3$其中$n$为序列长度

把式子按照指数展开，就可以愉快地$O(1)$计算数列答案了。我才没有暴力展开算了1h什么都没算出来

 #include<bits/stdc++.h>

 typedef long long ll;

 const ll MO = 1e9+;

 const int INF = 2e9;

 const int maxn = ;

 int n,m,preans;

 ll mn[maxn<<],f[maxn<<];

 int read()

 {

     char ch = getchar();

     int num = ;

     bool fl = ;

     for (; !isdigit(ch); ch = getchar())

         if (ch=='-') fl = ;

     for (; isdigit(ch); ch = getchar())

         num = (num<<)+(num<<)+ch-;

     if (fl) num = -num;

     return num;

 }

 ll qmi(ll a, ll b)

 {

     ll ret = ;

     while (b)

     {

         if (b&) ret = ret*a%MO;

         a = a*a%MO, b >>= ;

     }

     return ret;

 }

 void pushup(int rt)

 {

     mn[rt] = std::min(mn[rt<<], mn[rt<<|]);

     f[rt] = (f[rt<<]+f[rt<<|])%MO;

 }

 void build(int rt, int l, int r)

 {

     mn[rt] = INF;

     if (l==r){

         mn[rt] = f[rt] = read();

         f[rt] = 1ll*f[rt]*f[rt]%MO*f[rt]%MO;

         return;

     }

     int mid = (l+r)>>;

     build(rt<<, l, mid), build(rt<<|, mid+, r);

     pushup(rt);

 }

 void update(int rt, int l, int r, int pos, ll c)

 {

     if (l==r){

         f[rt] = c*c%MO*c%MO, mn[rt] = c;

         return;

     }

     int mid = (l+r)>>;

     if (pos <= mid) update(rt<<, l, mid, pos, c);

     else update(rt<<|, mid+, r, pos, c);

     pushup(rt);

 }

 int queryMn(int rt, int L, int R, int l, int r)

 {

     if (L <= l&&r <= R) return mn[rt];

     int mid = (l+r)>>, ret = INF;

     if (L <= mid)

         ret = queryMn(rt<<, L, R, l, mid);

     if (R > mid) ret = std::min(ret, queryMn(rt<<|, L, R, mid+, r));

     return ret;

 }

 ll query(int rt, int L, int R, int l, int r)

 {

     if (L <= l&&r <= R) return f[rt]%MO;

     int mid = (l+r)>>;

     ll ret = ;

     if (L <= mid) ret = query(rt<<, L, R, l, mid);

     if (R > mid) ret += query(rt<<|, L, R, mid+, r);

     return ret%MO;

 }

 ll calc(ll x, ll n, ll k)

 {

     ll ret = n*x%MO*x%MO*x%MO, pos = 1ll*n*(n-)%MO*qmi(, MO-)%MO;

     ret += ((k*k%MO*k%MO*pos%MO*pos%MO+3*k%MO*x%MO*x%MO*pos%MO)%MO+k*x%MO*k%MO*(2*n-1)%MO*pos%MO)%MO;

     return ret%MO;　　　　　　　　　　//时刻记得要取模！

 }

 int main()

 {

 //    freopen("4373.in","r",stdin);

 //    freopen("4373.out","w",stdout);

     n = read(), m = read();

     build(, , n);

     for (int i=; i<=m; i++)

     {

         int opt = read();

         if (opt==){

             int x = read()^preans, y = read()^preans;

             update(, , n, x, y);

         }else{

             int l = read()^preans, r = read()^preans, k = read()^preans, lens = (r-l+);

             int st = queryMn(, l, r, , n);

             ll sum = query(, l, r, , n);

             if (calc(st, lens, k)==sum) preans++, puts("Yes");

             else puts("No");

         }

     }

     return ;

 }

END

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