[CQOI2013]新Nim游戏

Description

传统的Nim游戏是这样的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴数量可以不同）。两个游戏者轮流操作，每次可以选一个火柴堆拿走若干根火柴。可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同时从超过一堆火柴中拿。拿走最后一根火柴的游戏者胜利。

本题的游戏稍微有些不同：在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴。可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。第二回合也一样，第二个游戏者也有这样一次机会。从第三个回合（又轮到第一个游戏者）开始，规则和Nim游戏一样。

如果你先拿，怎样才能保证获胜？如果可以获胜的话，还要让第一回合拿的火柴总数尽量小。

Input

第一行为整数k。即火柴堆数。第二行包含k个不超过10⁹的正整数，即各堆的火柴个数。

Output

输出第一回合拿的火柴数目的最小值。如果不能保证取胜，输出-1。

Sample Input

6
5 5 6 6 5 5

Sample Output

HINT

k<=100

可知异或和为0则必败，也就是说开头取掉几堆后，剩余集合不能出现异或为0的子集

可知就是维护一个权值和最大的线性无关组(线性基)

从大到小排序，一个个加入线性基

如果没有成功插入，那么说明该元素与其他线性相关，即可以用线性基中的子集异或和表示

这和元素的贪心很像

给出拟阵证明

我们设n个火柴堆的数目为集合S,若某个S的子集r不存在任何一个非空子集异或和0，则r∈I.下面我们证明二元组M=(S,I)是一个拟阵。
遗传性：设A∈I,则A是S的线性无关组，则A的任意非空子集均线性无关，即对A的任意子集B,B均线性无关，因此B∈I,证毕。
交换性：设A,B∈I,且|A|<|B|,我们要证明存在x∈B,使得A∪{x}∈I.利用反证法，假设对于任意x∈B-A,均有A∪{x}不属于I,则B-A中的元素均在A的异或空间中，可由A的子集异或和表示。
因此B中的元素都在A的异或空间中。那么必然有B的异或空间包含于A的异或空间。由|A|<|B|且A,B线性无关，显然矛盾。因此交换性存在，证毕。

 #include<iostream>

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 #include<cmath>

 using namespace std;

 typedef long long lol;

 int P[],a[],n;

 lol ans;

 int add(int x)

 {int i;

   for (i=;i>=;i--)

     if (x&(<<i))

       {

     if (P[i]==)

       {

         P[i]=x;

         break;

       }

     x^=P[i];

       }

   return x;

 }

 int main()

 {int i;

   cin>>n;

   for (i=;i<=n;i++)

     scanf("%d",&a[i]);

   sort(a+,a+n+);

   for (i=n;i>=;i--)

     {

       if (add(a[i])==) ans+=a[i];

     }

   cout<<ans;

 }

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