原理

类似树链剖分对重儿子/长儿子剖分，Link Cut Tree 也做的是类似的链剖分。

每个节点选出 \(0 / 1\) 个儿子作为实儿子，剩下是虚儿子。对应的边是实边/虚边，虚实时可以进行灵活变换的。

实链：实边连起来的极大链，也可以理解为所有实边构成的若干联通块。

Splay 维护每个实链，其中中序遍历对应着从上到下维护的路径：

本质上是维护所有实边，用 Splay 中的后继前驱来维护原树的父子关系。
如何维护虚边的父子呢？即实链之间的关系，认父不认子。设 \((u, v)\) 是一条边，\(x\) 是 \(v\) 所在 Splay 的根，发现 \(x\) 在 Splay 上的 \(fa\) 还没用过，所以维护在 Splay 的根上 \(fa\) 就是原路径上端的点。即 \(fa_x = v\)，但 \(v\) 的儿子中没有 \(x\)，这是重点。（这是重点。一般人理解的都是 \(fa_v = u\)，但实际上是错的。）

我们可以理解为，实边是双向互通的关系，虚边是单向关系。

这样的话原树和 Splay 树可以做到对应，所以只需要维护辅助 Splay 树就可以了。

前置 / 简单信息：

数组

const int N = 100005; // 点数

int ch[N][2], f[N], rev[N];

// ch[p][0 / 1] -> p 的左右儿子

// f[p] -> p 的父亲

// rev[p] -> p 的翻转标记

#define ls ch[p][0]

#define rs ch[p][1]

\(pushup(p)\) 更新信息

void inline pushup(int p) {

    // 用 p 的儿子来维护 p 的信息

}

\(reverse(p)\) 区间翻转（LCT必备，因为接下来的 \(makeRoot\) 函数需要支持翻转操作）

void inline reverse(int p) {

    if (!p) return;

    rev[p] ^= 1, swap(ls, rs);

}

\(pushdown(p)\) 下传标记

void inline pushdown(int p) {

    if (rev[p]) {

        reverse(ls); reverse(rs);

        rev[p] = 0;

    }

    // 做一些其他的下传标记.jpg

}

\(update(p)\) 由于我们在做某些操作时不一定是从根到 \(p\) 走过，可能还没有 \(pushdown\)，所以要把根到 \(p\) 的路径一路 \(pushdown\)。

void update(int p) {

	if (!isRoot(p)) update(f[p]);

	pushdown(p);

}

\(isRoot(x)\) ：\(x\) 是不是当前 Splay 的根，如果父亲不指向 \(x\) 就是根。

#define isRoot(x) (ch[f[x]][0] != x && ch[f[x]][1] != x)

一些操作：

\(rotate(x)\) 把 \(x\) 向上旋转。

注意，不同于原 Splay 的是，\(z\) 的儿子赋值为 \(x\) 这步一定要在 \(y\) 的 \(fa\) 信息改变之前，原因就是要判断 \(y\) 是不是根才需要赋值 \(z\) 的儿子信息，不能让 \(y\) 的信息改变。

PS：图中的 \(2, 1\) 节点分别对应着 \(x, y\)。

学习笔记：Link Cut Tree

void inline rotate(int x) {

    int y = f[x], z = f[y], k = get(x);

    if (!isRoot(y)) ch[z][ch[z][1] == y] = x;

    ch[y][k] = ch[x][!k], f[ch[y][k]] = y;

    ch[x][!k] = y, f[y] = x, f[x] = z;

    pushup(y), pushup(x);

}

\(splay(x)\) 把 \(x\) 旋转到根。

学习笔记：Link Cut Tree

记住一条链先转 \(f_x\)，然后转 \(x\)；有翻折转两次 \(x\) 就行，注意这么转的意义是保证 Splay 的那个势能复杂度是对的。

注意事先要 \(update(p)\)，且终止条件是 \(isRoot(p)\)。

void inline splay(int p) {

	update(p);

	for (int fa = f[p]; !isRoot(p); rotate(p), fa = f[p]) {

		if (!isRoot(fa)) rotate(get(p) == get(fa) ? fa : p);

	}

}

\(access(x)\) 当且仅当拉一条从根到 \(x\) 的路径，强制让 \(x\) 没有实儿子。换句话说，就是让根所在的 Splay 当且仅当只有跟到 \(x\) 的路径上这些点。

盗了网上的图：

学习笔记：Link Cut Tree

从下到上去做，每次迭代：

\(splay(x)\) 把 \(x\) 旋转到根，此时 \(y = fa_x\) 就是需要连接的上面一个实链
\(splay(y)\)，赋值 \(y\) 的右儿子是 \(x\)，这样就成功切换了实儿子，因为原先 \(y\) 右儿子是原先树 \(y\) 下面的点，把它全部替换成 \(x\)，就切换了实边。

迭代到根就可以了~

inline int access(int x) {

	int p = 0;

	for (p = 0; x; p = x, x = f[x]) {

		splay(x), ch[x][1] = p, pushUp(x);

	}

	return p;

}

\(makeRoot(x)\) 把 \(x\) 变成其所在原树的根节点，等于一个换根。即让 \(x\) 到当前根的父子关系全部翻转，\(access(x)\) 当且仅当把根到 \(x\) 的路径拉出来后，等价于 Splay 中把这颗 Splay 整体 reverse，所以就需要 \(splay(x)\) 后在 \(x\) （现在 \(x\) 是 Splay 的根），打一个翻转标记，你发现在二叉树上打翻转标记，他的中序遍历正好也被 reverse 了。（简要的证明一下，任意位置 \(ABC\) 的中序遍历都会变成 \(CBA\) 结构然后无限递归下去，这样显然中序遍历正好相反，正好达到目标）

void makeRoot(int p) {

	access(p), splay(p);

	reverse(p);

}

\(find(x)\) 找到 \(x\) 所在原树的根节点。等于找到当前 splay 的最小键，\(access(x)\) 且 \(splay(x)\) 一直往左走就可以了。

int find(int p) {

	access(p), splay(p);

	while (ls) pushdown(p), p = ls;

	splay(p);

	return p;

}

\(split(x, y)\) 将 \(x, y\) 的路径变为实边路径（具体地，将 \(y\) 变成所在 Splay 的根，当前 Splay 仅包含 \(x, y\) 之间路径上的点，想拿信息直接从 \(y\) 节点上拿就可以）：\(makeroot(x), access(y), splay(y)\)。

void split(int x, int y) {

	makeRoot(x), access(y), splay(y);

}

\(link(x, y)\) 若 \(x, y\) 不连通，则 \((x, y)\) 连边。\(makeroot(x)\)，如果 \(findroot(y) \not= x\)，那么 \(fa_x = y\) 就行了。

void link(int x, int y) {

	makeRoot(x);

	if (find(y) != x) f[x] = y;

}

\(cut(x, y)\) 若 \(x, y\) 之间有边就去掉。\(split(x, y)\) 后，\(x, y\) 有边当且仅当 \(x\) 是 \(y\) 的前驱（并且由于双向连边，所以充要条件是 \(x\) 是 \(y\) 的左儿子，并且 \(x\) 没有右儿子（即判定前驱关系的成立）），判一下，如果是直接双向断边。

void cut(int x, int y) {

	split(x, y);

	if (ch[y][0] == x && !ch[x][1]) ch[y][0] = 0, f[x] = 0;

}

例题

【模板】Link Cut Tree （动态树）

#include <iostream>

#include <cstdio>

#define ls ch[p][0]

#define rs ch[p][1]

#define isRoot(x) (ch[f[x]][0] != x && ch[f[x]][1] != x)

#define get(x) (ch[f[x]][1] == x)

using namespace std;

const int N = 100005;

int n, m;

int ch[N][2], rev[N], f[N], val[N], dat[N];

void inline pushup(int p) {

	dat[p] = dat[ls] ^ val[p] ^ dat[rs];

}

void inline reverse(int p) {

	if (!p) return;

	rev[p] ^= 1, swap(ls, rs);

}

void inline pushdown(int p) {

	if (rev[p]) {

		reverse(ls); reverse(rs);

		rev[p] = 0;

	}

}

void update(int p) {

	if (!isRoot(p)) update(f[p]);

	pushdown(p);

}

void inline rotate(int x) {

	int y = f[x], z = f[y], k = get(x);

	if (!isRoot(y)) ch[z][ch[z][1] == y] = x;

	ch[y][k] = ch[x][!k], f[ch[y][k]] = y;

	ch[x][!k] = y, f[y] = x, f[x] = z;

	pushup(y), pushup(x);

}

void inline splay(int p) {

	update(p);

	for (int fa = f[p]; !isRoot(p); rotate(p), fa = f[p]) {

		if (!isRoot(fa)) rotate(get(p) == get(fa) ? fa : p);

	}

}

int inline access(int p) {

	int x = 0;

	for (; p; x = p, p = f[p]) {

		splay(p), ch[p][1] = x, pushup(p);

	}

	return x;

}

void makeRoot(int p) {

	access(p), splay(p);

	reverse(p);

}

int find(int p) {

	access(p), splay(p);

	while (ls) pushdown(p), p = ls;

	splay(p);

	return p;

}

void link(int x, int y) {

	makeRoot(x);

	if (find(y) != x) f[x] = y;

}

void split(int x, int y) {

	makeRoot(x), access(y), splay(y);

}

void cut(int x, int y) {

	split(x, y);

	if (ch[y][0] == x && !ch[x][1]) ch[y][0] = 0, f[x] = 0;

}

int main() {

	scanf("%d%d", &n, &m);

	for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", val + i), dat[i] = val[i];

	while (m--) {

		int opt, x, y; scanf("%d%d%d", &opt, &x, &y);

		if (opt == 0) split(x, y), printf("%d\n", dat[y]);

		else if (opt == 1) link(x, y);

		else if (opt == 2) cut(x, y);

		else splay(x), val[x] = y, pushup(x);

	}

	return 0;

}

NOI2014 魔法森林

把边按 \(a\) 从小到大排序，每次枚举一个 \(i\)，用 \(1 \sim i\) 这些边，即用 \(\le a_i\) 的边，找出 \(1 - n\) 最小瓶颈路（\(b\) 为边权）。那么每次需要维护动态加入一个边，很像 Link Cut Tree，但如何加出来有环怎么办，即去掉最大的 \(b\) 的边就可以了（瓶颈路的性质）。

需要支持：

连边
两点之间最大边权

边权转点权的技巧，每个边加一个新点。

就可以了~

秒客网

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一些操作：

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