BZOJ 4827: [Hnoi2017]礼物 FFT_多项式_卷积

Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一

个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突

然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有

装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，

但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差

异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，

其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物

亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2麻烦你帮他

计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

Input

输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。

接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。

1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m

Output

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。

注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。

题解：

最小化 $\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i}+c)^2$

$\Rightarrow \sum_{i=1}^{n}x_{i}^2+\sum_{i=1}^{n}y_{i}^2+2c(\sum_{i=1}^{n}x_{i}-\sum_{i=1}^{n}y_{i})+c^2-2\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i+k}$

发现前面 $\sum_{i=1}^{n}x_{i}^2+\sum_{i=1}^{n}y_{i}^2$ 是定值，$2c(\sum_{i=1}^{n}x_{i}-\sum_{i=1}^{n}y_{i})+c^2$ 可以用二次函数解决

后面的 $\sum_{i=1}^{n}x_{i}y_{i+k}$ 可以令 $x$ 翻转，即 $x_{i}=x_{n-1-i}, \sum_{i=1}^{n}x_{n-1-i}y_{i+k}$

用 $FFT$ 加速多项式乘法，依次枚举这个 $k$，取一下最大值即可 

#include <bits/stdc++.h>
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
#define maxn 3100000
#define ll long long
using namespace std;
namespace FFT
{
    #define pi 3.1415926535898
    struct cpx
    {
        double x,y;
        cpx(double a=0,double b=0){x=a,y=b;}
    };
    cpx operator+(cpx a,cpx b) { return cpx(a.x+b.x,a.y+b.y); }
    cpx operator-(cpx a,cpx b) { return cpx(a.x-b.x,a.y-b.y); }
    cpx operator*(cpx a,cpx b) { return cpx(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x); }
    void FFT(cpx *a,int n,int flag)
    {
        for(int i = 0,k = 0;i < n; ++i)
        {
            if(i > k) swap(a[i],a[k]);
            for(int j = n >> 1;(k^=j)<j;j>>=1);
        }
        for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)
        {
            cpx wn(cos(pi/mid),flag*sin(pi/mid)),x,y;
            for(int j=0;j<n;j+=(mid<<1))
            {
                cpx w(1,0);
                for(int k=0;k<mid;++k)
                {
                    x = a[j+k],y=w*a[j+mid+k];
                    a[j+k]=x+y;
                    a[j+mid+k]=x-y;
                    w=w*wn;
                }
            }
        }
        if(flag==-1)  for(int i=0;i<n;++i) a[i].x/=(double)n;
    }
    cpx A[maxn],B[maxn];
    void mult(int *a,int *b,int len)
    {
        int m = 1;
        while(m <= len) m <<= 1;
        for(int i = 0;i < len; ++i) A[i].x = (double)a[i];
        for(int i = 0;i < len; ++i) B[i].x = (double)b[i];
        FFT(A,m,1),FFT(B,m,1);
        for(int i = 0;i < m; ++i) A[i] = A[i] * B[i]; // , printf("%.2f\n",A[i].x);
        FFT(A,m,-1);
        for(int i = 0;i < len; ++i) a[i] = (int)(A[i].x + 0.5);
    }
};
int arr[maxn],brr[maxn],n,m,t;
ll ans = 0;
int main()
{
    // setIO("input");
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = 0;i < n; ++i) scanf("%d",&arr[i]);
    for(int i = 0;i < n; ++i) scanf("%d",&brr[i]);
    for(int i = 0;i < n; ++i)
    {
        ans += 1ll*arr[i]*arr[i] + 1ll*brr[i]*brr[i];
        t += brr[i]-arr[i];
    }
    int c1 = floor(t*1.0/n), c2 = ceil(t*1.0/n);
    ans += min(1ll*c1*c1*n - 1ll*c1*2*t, 1ll*c2*c2*n - 1ll*c2*2*t);
    reverse(&arr[0],&arr[n]);
    for(int i = n;i < 2*n;++i) brr[i]=brr[i-n];
    FFT::mult(brr,arr,3*n);
    int tmp = 0;
    for(int i = 0;i < n; ++i) tmp = max(tmp,brr[i + n]) ;
    ans -= (tmp<<1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}