https://blog.csdn.net/goldfish288/article/details/79835550
原文地址：https://mattmazur.com/2015/03/17/a-step-by-step-backpropagation-example/
逐步反向传播示例
背景
反向传播是训练神经网络的常用方法，之前对此一直了解的不够彻底，这篇文章算是让我彻底搞懂了反向传播的细节。
概观
对于本教程，我们将使用具有两个输入，两个隐藏的神经元，两个输出神经元的神经网络。此外，隐藏和输出神经元将包括一个偏见。
基本结构如下：
为了使用一些数字，下面是最初的权重，偏见和培训输入/输出：
反向传播的目标是优化权重，以便神经网络可以学习如何正确映射任意输入到输出。
对于本教程的其余部分，我们将使用单个训练集：给定输入0.05和0.10，我们希望神经网络输出0.01和0.99。
前进通行证
首先，让我们看看神经网络目前预测的是什么，给定0.05和0.10的权重和偏差。为此，我们将通过网络向前馈送这些输入。
我们计算出净输入总到每个隐藏层神经元，壁球使用的总净输入激活功能（在这里我们使用的逻辑功能），然后重复上述过程与输出层的神经元。
以下是我们计算总净投入的方法
：
然后我们使用逻辑函数对其进行压缩以获得以下输出：
执行相同的过程，
我们得到：
我们重复这个过程为输出层神经元，使用隐藏层神经元的输出作为输入。
以下是输出
：
并执行相同的过程，
我们得到：
计算总误差
现在我们可以使用平方误差函数来计算每个输出神经元的误差，并将它们相加得到总误差：
是包括的，以便指数在我们稍后区分时被取消。无论如何，结果最终会乘以学习率，所以我们在这里引入一个常数并不重要[
1 ]。
例如，目标输出为0.01，但神经网络输出为0.75136507，因此其误差为：
重复这个过程（记住目标是0.99），我们得到：
神经网络的总误差是这些误差的总和：
向后传递
我们使用反向传播的目标是更新网络中的每个权重，使它们使实际输出更接近目标输出，从而最大限度地减少每个输出神经元和整个网络的误差。
输出层
考虑一下
。我们想知道变化会影响总误差，也就是说
。
读作“部分的衍生物
相对于
”。你也可以说“关于梯度
”。
通过应用链式规则，我们知道：
在视觉上，这是我们正在做的事情：
我们需要找出这个方程中的每一部分。
首先，总误差相对于输出的变化有多大？
有时表达为
，数量
变为零，因为
它不影响它，这意味着我们正在取一个常数为零的导数。
接下来，相对于其总净投入的变化输出多少？
最后，关于
变化的总净投入是多少？
把它放在一起：
和
可以写成
，又名
（希腊字母三角洲）aka 节点三角洲。我们可以用它来重写上面的计算：
所以它会写成：
为了减少误差，我们从当前权重中减去这个值（可选地乘以一些学习率eta，我们将其设置为0.5）：
（alpha）来表示学习率，
（eta），
（epsilon）。
我们可以重复这个过程中获得新的权重
，
以及
：
在我们将新权重引入隐含层神经元之后，我们执行神经网络中的实际更新（即，当我们继续下面的反向传播算法时，我们使用原始权重，而不是更新的权重）。
隐藏层
接下来，我们将继续为新的计算值，向后传递
，
，
，和
。
大图片，这是我们需要弄清楚的：
视觉：
我们将使用与输出层类似的过程，但略有不同，以说明每个隐藏层神经元的输出对多个输出神经元的输出（并因此产生误差）的贡献。我们知道这
影响到两者
，
因此
需要考虑它对两个输出神经元的影响：
从以下开始
：
我们可以
使用我们之前计算的值来计算：
并且
等于：
将它们插入：
按照相同的过程
，我们得到：
因此：
现在，我们有，我们需要弄清楚
，然后
每一个权重：
我们计算总净投入的偏导数，与我们对输出神经元所做的相同：
把它放在一起：
你也可以看到这写成：
我们现在可以更新：
重复这些，和
最后，我们已经更新了所有的重量！当我们最初输入0.05和0.1的输入时，网络上的误差为0.298371109。在第一轮反向传播之后，总误差现在降至0.291027924。它可能看起来并不多，但是在重复这个过程10,000次后，错误会直线下降到0.0000351085。此时，当我们提前0.05和0.1时，两个输出神经元产生0.015912196（vs 0.01目标）和0.984065734（vs 0.99目标）。
如果你已经做到了这一点，并发现上述任何错误，或者可以想出任何方法使未来的读者更清楚，不要犹豫，给我一个笔记。谢谢！