BZOJ1226: [SDOI2009]学校食堂Dining

Description

小F 的学校在城市的一个偏僻角落，所有学生都只好在学校吃饭。学校有一个食堂，虽然简陋，但食堂大厨总能做出让同学们满意的菜肴。

当然，不同的人口味也不一定相同，但每个人的口味都可以用一个非负整数表示。

由于人手不够，食堂每次只能为一个人做菜。

做每道菜所需的时间是和前一道菜有关的，若前一道菜的对应的口味是a，这一道为b，则做这道菜所需的时间为（a or b）-（a and b），而做第一道菜是不需要计算时间的。

其中，or 和and 表示整数逐位或运算及逐位与运算，C语言中对应的运算符为“|”和“&”。

学生数目相对于这个学校还是比较多的，吃饭做菜往往就会花去不少时间。

因此，学校食堂偶尔会不按照大家的排队顺序做菜，以缩短总的进餐时间。

虽然同学们能够理解学校食堂的这种做法，不过每个同学还是有一定容忍度的。

也就是说，队伍中的第i 个同学，最多允许紧跟他身后的Bi 个人先拿到饭菜。

一旦在此之后的任意同学比当前同学先拿到饭，当前同学将会十分愤怒。

因此，食堂做菜还得照顾到同学们的情绪。

现在，小F 想知道在满足所有人的容忍度这一前提下，自己的学校食堂做完这些菜最少需要多少时间。

Input

第一行包含一个正整数C，表示测试点的数据组数。

每组数据的第一行包含一个正整数N，表示同学数。

每组数据的第二行起共N行，每行包含两个用空格分隔的非负整数Ti和Bi，表示按队伍顺序从前往后的每个同学所需的菜的口味和这个同学的忍受度。

每组数据之间没有多余空行。

Output

包含C行，每行一个整数，表示对应数据中食堂完成所有菜所需的最少时间。

Sample Input

2
5
5 2
4 1
12 0
3 3
2 2
2
5 0
4 0

Sample Output

16
1

HINT

对于第一组数据：同学1允许同学2或同学3在他之前拿到菜；同学2允许同学3在他之前拿到菜；同学3比较小气，他必须比他后面的同学先拿菜……

一种最优的方案是按同学3、同学2、同学1、同学4、同学5做菜，每道菜所需的时间分别是0、8、1、6及1。

【数据规模和约定】

对于30%的数据，满足1 ≤ N ≤ 20。

对于100%的数据，满足1 ≤ N ≤ 1,000，0 ≤ Ti ≤ 1,000，0 ≤ Bi ≤ 7，1 ≤ C ≤ 5。

存在30%的数据，满足0 ≤ Bi ≤ 1。

存在65%的数据，满足0 ≤ Bi ≤ 5。

存在45%的数据，满足0 ≤ Ti ≤ 130。

题解Here!

一眼望去——$DP$没的说！

但是是什么$DP$呢？

$n<=10^3,T_i<=10^3$，这玩意有什么提示呢？

答案是：没有。

但是我们发现$B_i<=7$！

于是——状压$DP$！

设$dp[i][j][k]$表示第$1$个人到第$i-1$个人已经打完饭，第$i$个人以及后面$7$个人是否打饭的状态为$j$，当前最后一个打饭的人的编号为$i+k$。

而$k\in[-8,7]$，所以用数组存时要加上$8$。

设完状态，开始推转移方程：

当$j\&1$为真，就表示第$i$个人已经打完饭，$i$之后的$7$个人中，还没打饭的人就再也不会插入到第$i$个人前面了。
所以这时候可以转移到$dp[i+1][j>>1][k-1]$，即：
$$dp[i+1][j>>1][k-1]=\min(\ dp[i+1][j>>1][k-1],dp[i][j][k]\ )$$
不需要累积时间，因为在$j\&1$为真的情况下，$dp[i][j][k]$和$dp[i+1][j>>1][k-1]$的意义是一样的。

为什么意义是一样的呢？
我们可以看出，最后一个打饭的人的编号为$(i+1)+(k-1)=i+k$，和$dp[i][j][k]$表示的一样。
并且第$i$个人也打完了饭，所以满足$\text{第1个人到第i个人已经打完饭}$这个条件。
而$j>>1$就是说$i$之后的第$1$个人就是$i+1$之后的第$0$个人，就是$i+1$本人；
$i$之后的第$2$个人就是$i+1$之后的第$1$个人；
$i$之后的第$3$个人就是$i+1$之后的第$2$个人；
$......$
这样就可以看出意义一样了。

当$j\&1$为假时，是没办法转移到$dp[i+1]$的，因为$i+1$之前的人还有$i$没有打完饭。

但是这时候可以把$i$以及$i$之后的$7$个人中选出一个人打饭。

也就是枚举$l\in[0,7]$，然后：

$$dp[i][j|(1<<l)][l]=\min\{\ dp[i][j][k]+time(i+k,i+l)\ \}$$

其中$time(i,j)$表示如果上一个人编号为$i$，当前的人编号为$j$，那么做编号为$j$的人的菜需要的时间。

即：$time(i,j)=(T_i\ or\ T_j)-(T_i\ and\ T_j)=(T_i|T_j)-(T_i\&T_j)=(T_i\ xor\ T_j)=(T_i\wedge T_j)$

当然，这个转移需要考虑到忍耐度的问题。

这样，在$i$和$i$之后的$7$个人，不是每一个还未打饭的人都可以先打饭的。

因为编号在他之前的所有未打饭的人的忍耐度必须能忍受这个人在他们之前打饭。

所以，在这里用了一个变量$limit$来统计了一下，表示到目前为止的未打饭的人的忍受范围的最小值

注意，不是忍耐度，忍受范围是指能忍受在其之前打饭的最大位置！

对于任何一个人，如果$i+l>limit$，就表示他无法满足编号在他之前的所有人的忍受范围，就不要考虑这个人了。

最后答案即为$\min(dp[n+1][0][k],k\in[0,8])$。

这个题真恶心。。。

然后我还$WA\times 2$，原因是——多组询问，然后我$ans$没有每次都初始化为$\inf$。。。

吃枣药丸。。。

附代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 1010
#define MAX 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int n,ans;
int dp[MAXN][1<<8][20];
struct Student{
	int t,b;
}a[MAXN];
inline int read(){
	int date=0,w=1;char c=0;
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')w=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9'){date=date*10+c-'0';c=getchar();}
	return date*w;
}
void work(){
	dp[1][0][7]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=0;j<(1<<8);j++)
	for(int k=-8;k<=7;k++)
	if(dp[i][j][k+8]!=MAX){
		if(j&1)
			dp[i+1][j>>1][k+7]=min(dp[i+1][j>>1][k+7],dp[i][j][k+8]);
		else{
			int limit=MAX;
			for(int l=0;l<=7;l++)
			if(!((j>>l)&1)){
				if(i+l>limit)break;
				limit=min(limit,i+l+a[i+l].b);
				dp[i][j|(1<<l)][l+8]=min(dp[i][j|(1<<l)][l+8],dp[i][j][k+8]+(i+k?(a[i+k].t^a[i+l].t):0));
			}
		}
	}
	ans=MAX;
	for(int i=0;i<=8;i++)ans=min(ans,dp[n+1][0][i]);
	printf("%d\n",ans);
}
void init(){
	n=read();
	memset(dp,63,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=n;i++){a[i].t=read();a[i].b=read();}
}
int main(){
	int t=read();
	while(t--){
		init();
		work();
	}
    return 0;
}

秒客网