数值分析Python实现系列—— 二、逐次超松弛迭代法(SOR)

二、超松弛迭代法(SOR)

1.原理:

​ 回顾:

​ 在一般情况下 : 收敛过慢甚至不收敛的\(B\)与\(f\),经过对系数矩阵\(A\)分裂成\(A = M - N\)的形式, 使得迭代公式变为: \(x^{k+1}=(I-M^{-1})Ax^{k}+M^{-1}f\)

​ 雅克比迭代法选取 : 现将\(A\)如下分解\(A = D-L-U\),\(D\)为对角阵,\(L\)为下三角阵,\(U\)为上三角阵,取\(M \equiv D\),取\(N \equiv L+U\),

​ 在这一章中我们选取下三角矩阵\(M=\frac{1}{\omega}(D-\omega L),\omega>0\),其中\(\omega\)为松弛因子,我们可以发现当\(\omega\)为1时,\(M=D-L\),正是高思-赛德尔迭代法,下面推导迭代公式:
\[ \textbf{x}_{k+1}=I-M^{-1}A\textbf{x}_{k}+M^{-1}b \]

\[ \textbf{x}_{k+1}=I-\omega(D-\omega L)^{-1}A\textbf{x}_{k}+\omega (D-\omega L)^{-1}b \]

\[ \textbf{x}_{k+1}=(D-\omega L)^{-1}((1-\omega)D+\omega U)\textbf{x}_{k}+\omega (D-\omega L)^{-1}b \]

​ 推导完毕,我们较为常用的是下式:
\[ (D-\omega L)\textbf{x}_{k+1}=((1-\omega)D+\omega U)\textbf{x}_{k}+\omega b \]
以及:
\[ \left\{ \begin{matrix} \textbf{x}^{(0)} &=& (x_1^{(0)},\textbf{...},x_n^{(0)})^{T}, \\ x_i^{(k+1)} &=& x_i^{(k+)}+ \Delta x_{i} \\ \Delta x_{i} &=& \omega \frac{b_{i}- \sum\limits_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_{j}^{(k+1)}-\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}^{(k)}}{a_{ii}} \\ i &=&1,2,...,n,k=0,1,...,\\ \omega为松弛因子 \end{matrix} \right. \]

当\(\omega>1\)时为超松弛迭代,当\(\omega<1\)时为低松弛迭代

迭代终止条件:\(\mathop{max}\limits_{1\le i\le n}|\Delta x_{i}| = \mathop{max}\limits_{1\le i\le n}|x_{i}^{(k+1)}-x_{i}^{(k)}|<\varepsilon\),下面我们试试用Python实现这一功能.

2.实现:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
MAX = 110                                         # 遍历最大次数
A = np.array([[-4, 1, 1, 1], [1, -4, 1, 1], [1, 1, -4, 1], [1, 1, 1, -4]])
b = np.array([[1], [1], [1], [1]])                # 注意这里取列向量
omega_list = [1 + 0.005 * i for i in range(100)]  # 取到不同的omega值,观察趋势
length = len(A)
count = []                                        # 记录遍历的次数
for omega in omega_list:                          # 遍历每一个omega值
    times = 0
    x_0 = np.zeros((length, 1))
    x_hold = x_0 + np.ones((length, 1))
    while (np.linalg.norm(x_hold - x_0, ord=2) >= 10 ** (-5)) and (times <= MAX):
        # 遍历停止条件以k+1次与k次迭代的向量差的二范数以及遍历最大次数为标准
        x_hold = x_0.copy()                      # 这里不要用赋值,要用copy
        x_new = x_0.copy()
        for i in range(length):
            # 根据迭代公式迭代
            x_new[i][0] = x_0[i][0] + omega * (b[i][0] - sum([A[i][j] * x_new[j][0] for j in range(i)]) - sum(
                [A[i][j] * x_0[j][0] for j in range(i, length)])) / A[i][i]
            x_0 = x_new.copy()
        times += 1
    count.append(times)
plt.plot(omega_list, count)                      # 观察omega与迭代次数的关系
plt.show()

思路:

​ 1.遍历设限:第一种是到达精度,到达精度停止迭代,第二种是到达规定最大次数,这个可以自己设定.

​ 2.在根据迭代公式改变各个向量分量时,要注意遍历范围.

结果: