【数论】X problem

时间：2023-03-09 14:24:25
【数论】X problem

X problem

    

X问题

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Problem Description
    求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。
Input
    输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。
Output
    对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。
Sample Input
3

10 3

1 2 3

0 1 2

100 7

3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

10000 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

　　

Sample Output
1

0

3
Author
lwg

 

Source
   水题一道……
   显然暴力不行，直接上来中国剩余定理yy一发，求出最小解后直接依次加上最小公倍数就可以了
#include<iostream>

#include<cstring>

#include<cstdio>

using namespace std;

inline int read(){

	int x=0,f=1;char c=getchar();

	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;

    for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';

    return x*f;

}

int gcd(int a,int b){

	if(b==0) return a;

    return gcd(b,a%b);

}

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y){//扩展欧几里得

	if(b==0){

		x=1,y=0;

		return a;

	}

	int k=ex_gcd(b,a%b,x,y);

	int tmp=x;

	x=y;

	y=tmp-a/b*y;

	return k;

}

int T;

int N,M;

int w[11],r[11];

int China(int N){

	int M=w[1],R=r[1];

	int x,y;

	for(int i=2;i<=N;i++){

		int d=gcd(M,w[i]);

		int c=r[i]-R;

		if(c%d) {return -1;}

		ex_gcd(M/d,w[i]/d,x,y);

		x=(c/d*x)%(w[i]/d);

		R+=x*M;

		M=M/d*w[i];

		R%=M;

	}

	if(R<0) return R+M;

	else return R;

}

int main(){

	T=read();

	while(T--){

		N=read(),M=read();

		for(int i=1;i<=M;i++) w[i]=read();

		for(int i=1;i<=M;i++) r[i]=read();

		int ret=China(M);

		if(ret==-1||ret>N) {puts("0");continue;} //特判

		int lcm=1,ans=1;

		for(int i=1;i<=M;i++) lcm=lcm*w[i]/gcd(lcm,w[i]);//求所有数的最小公倍数,有个式子是a*b=gcd(a,b)*lcm(a*b);

		while(ret+lcm<N){

	        ans++;

			ret+=lcm;

		}

		cout<<ans<<endl;

	}

}

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