《大话数据结构》第2章 算法基础 2.9 算法的时间复杂度

2.9 算法的时间复杂度

 

2.9.1 算法时间复杂度定义

        在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

        这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。
        一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。
        显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n)，O(1)，O(n²)。我们分别给它们取了非官方的名称，O(1)叫常数阶，O(n)叫线性阶，O(n²)叫平方阶，当然，还有其他的一些阶，我们之后会介绍。

2.9.2 推导大O阶方法

        那么如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大O阶呢？我们给出了下面的推导方法，基本上，这也就是总结前面我们举的例子

推导大O阶

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
得到的结果就是大O阶。

        哈，仿佛是得到了游戏攻略一样，我们好像已经得到了一个推导算法时间复杂度的万能公式。可事实上，分析一个算法的时间复杂度，没有这么简单，我们还需要多看几个例子。

2.9.3 常数阶
        首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是刚才的第二种算法，为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。

 

 
  int 
   sum  
  = 
    
  0 
  ,n  
  = 
    
  100 
  ;   
  /* 
  执行一次 
  */ 
  
 sum  
  = 
   ( 
  1 
  + 
  n) 
  * 
  n 
  / 
  2 
  ;    
  /* 
  执行一次 
  */ 
  
 printf( 
  " 
  %d 
  " 
  , sum);   
  /* 
  执行一次 
  */ 
 

        这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。
        另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有10句，即：

 

 
  int 
   sum  
  = 
    
  0 
  , n  
  = 
    
  100 
  ;  
  /* 
  执行一次 
  */ 
  
 sum  
  = 
   ( 
  1 
  + 
  n) 
  * 
  n 
  / 
  2 
  ;    
  /* 
  执行第1次 
  */ 
  
 sum  
  = 
   ( 
  1 
  + 
  n) 
  * 
  n 
  / 
  2 
  ;    
  /* 
  执行第2次 
  */ 
  
 sum  
  = 
   ( 
  1 
  + 
  n) 
  * 
  n 
  / 
  2 
  ;    
  /* 
  执行第3次 
  */ 
  
 sum  
  = 
   ( 
  1 
  + 
  n) 
  * 
  n 
  / 
  2 
  ;    
  /* 
  执行第4次 
  */ 
  
 sum  
  = 
   ( 
  1 
  + 
  n) 
  * 
  n 
  / 
  2 
  ;    
  /* 
  执行第5次 
  */ 
  
 sum  
  = 
   ( 
  1 
  + 
  n) 
  * 
  n 
  / 
  2 
  ;    
  /* 
  执行第6次 
  */ 
  
 sum  
  = 
   ( 
  1 
  + 
  n) 
  * 
  n 
  / 
  2 
  ;    
  /* 
  执行第7次 
  */ 
  
 sum  
  = 
   ( 
  1 
  + 
  n) 
  * 
  n 
  / 
  2 
  ;    
  /* 
  执行第8次 
  */ 
  
 sum  
  = 
   ( 
  1 
  + 
  n) 
  * 
  n 
  / 
  2 
  ;    
  /* 
  执行第9次 
  */ 
  
 sum  
  = 
   ( 
  1 
  + 
  n) 
  * 
  n 
  / 
  2 
  ;    
  /* 
  执行第10次 
  */ 
  
 printf( 
  " 
  %d 
  " 
  ,sum);   
  /* 
  执行一次 
  */ 
    
 

        事实上无论n为多少，上面的两段代码就是3次和12次执行的差异，这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。
        注意，不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字。这是初学者常常犯的错误。
        对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

2.9.4 线性阶
        循环结构就会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。
        下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)。因为循环体中的代码须要执行n次。

 
  int 
   i;
 
  for 
  (i  
  = 
    
  0 
  ; i  
  < 
   n; i 
  ++ 
  )
 {
     
  /* 
  时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 
  */ 
  
 } 
 

2.9.5 对数阶
        那么下面的这段代码，时间复杂度又是多少呢？

 
  int 
   count  
  = 
    
  1 
  ;
 
  while 
   (count  
  < 
   n)
 {
    count  
  = 
   count  
  * 
    
  2 
  ;
     
  /* 
  时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 
  */ 
  
 } 
 

        由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2^x=n得到x=log₂n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

2.9.6 平方阶
        下面的例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

 

 
  int 
   i,j;
 
  for 
  (i  
  = 
    
  0 
  ; i  
  < 
   n; i 
  ++ 
  )
 {
     
  for 
   (j  
  = 
    
  0 
  ; j  
  < 
   n;j 
  ++ 
  )                       
    {                                      
         
  /* 
  时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 
  */ 
  
    }                                      
 } 
 

        而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n²)。
        如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m×n)。

 
  int 
   i,j;
 
  for 
  (i  
  = 
    
  0 
  ; i  
  < 
   m; i 
  ++ 
  )
 {
     
  for 
   (j  
  = 
    
  0 
  ; j  
  < 
   n; j 
  ++ 
  )                
    {                                      
         
  /* 
  时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 
  */ 
  
    }                                      
 } 
 

        所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。
        那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？

 
  int 
   i,j;
 
  for 
  (i  
  = 
    
  0 
  ; i  
  < 
   n; i 
  ++ 
  )
 {
      
  for 
   (j  
  = 
   i; j  
  < 
   n; j 
  ++ 
  )   
  /* 
  注意int j = i而不是0 
  */ 
  
     {                                      
            
  /* 
  时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 
  */ 
  
     }                                      
 } 
 

              由于当i = 0时，内循环执行了n次，当i = 1时，执行了n－1次，……当i = n－1时，内循环执行了1次。所以总的执行次数为

 

        用我们推导大O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留n²/2；第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。
        从这个例子，我们也可以得到一个经验，其实理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力，所以想考研的朋友，要想在求算法时间复杂度这里不失分，可能需要强化你的数学，特别是数列方面的知识和解题能力。
        我们继续看例子，对于方法调用的时间复杂度又如何分析。

 

 
  int 
   i,j;
 
  for 
  (i  
  = 
    
  0 
  ; i  
  < 
   n; i 
  ++ 
  )
 {
    function(i);
 }
   
 

              上面这段代码调用一个函数function。

 
  void 
   function( 
  int 
   count)
 {
    print(count);
 } 
 

       函数体是打印这个参数。其实这很好理解，function函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(n)。
       假如function是下面这样的：

 
  void 
   function( 
  int 
   count)
 {
     
  int 
   j;
     
  for 
   (j  
  = 
   count; j  
  < 
   n;j 
  ++ 
  )                       
    {                                      
        
  /* 
  时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 
  */ 
  
    }    
 }  
 

        事实上，这和刚才举的例子是一样的，只不过把嵌套内循环放到了函数中，所以最终的时间复杂度为O(n²)。
        下面这段相对复杂的语句：

 
  n 
  ++ 
  ;        
  /* 
  执行次数为1 
  */ 
  
 function(n);      
  /* 
  执行次数为n 
  */ 
  
 
  int 
   i,j;     
 
  for 
  (i  
  = 
    
  0 
  ; i  
  < 
   n; i 
  ++ 
  )   
  /* 
  执行次数为n2 
  */ 
  
 {
    function (i);
 }
 
  for 
  (i  
  = 
    
  0 
  ; i  
  < 
   n; i 
  ++ 
  )   
  /* 
  执行次数为n(n + 1)/2 
  */ 
  
 {
     
  for 
   (j  
  = 
   i;j  
  < 
   n; j 
  ++ 
  )                       
    {                                      
          
  /* 
  时间复杂度为O(1)的程序步骤序列 
  */ 
  
    }                                      
 }
   
 

         它的执行次数 ，根据推导大O阶的方法，最终这段代码的时间复杂度也是O(n ²)。