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线性时间选择问题：给定线性序集中n个元素和一个整数k，1≤k≤n，要求找出这n个元素中第k小的元素，（这里给定的线性集是无序的）。
1、随机划分线性选择
线性时间选择随机划分法可以模仿随机化快速排序算法设计。基本思想是对输入数组进行递归划分，与快速排序不同的是，它只对划分出的子数组之一进行递归处理。
程序解释：利用随机函数产生划分基准，将数组a[p:r]划分成两个子数组a[p:i]和a[i+1:r]，使a[p:i]中的每个元素都不大于a[i+1:r]中的每个元素。接着"j=i-p+1"计算a[p:i]中元素个数j.如果k<=j，则a[p:r]中第k小元素在子数组a[p:i]中，如果k>j，则第k小元素在子数组a[i+1:r]中。注意：由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素，因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。
在最坏的情况下，例如：总是找到最小元素时，总是在最大元素处划分，这是时间复杂度为O(n^2)。但平均时间复杂度与n呈线性关系，为O(n)
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;
void Swap(int &x,int &y)
{
int temp = x;
x = y;
y = temp;
}
inline int Random(int x, int y)
{
srand((unsigned)time(0));
int ran_num = rand() % (y - x) + x;
return ran_num;
}
int Partition(int r[],int s,int t)
{
int x=r[s];//选r[s]为基准
int i=s,j=t;
while(i<j)
{
while(i<j&&r[j]>=x) j--;
if(i<j) r[i]=r[j];
while(i<j&&r[i]<=x) i++;
if(i<j) r[j]=r[i];
}
r[i]=x;//基准放到正确位置
for(int i=s;i<=t;i++) cout<<r[i]<<' ';
cout<<endl;
return i;//基准位置
}
int RandomizedPartion(int a[],int s,int t)
{
int i=Random(s,t);
Swap(a[i],a[s]);
return Partition(a,s,t);
}
template <class Type>
Type RandomizedSelect(Type a[],int p,int r,int k)
{ //a[p:r]中找第k小元素
if(p == r)
return a[p];
int i = RandomizedPartion(a,p,r);
int j = i - p + 1;
if(k <= j)
return RandomizedSelect(a,p,i,k);
else
{
//由于已知道子数组a[p:i]中的元素均小于要找的第k小元素
//因此，要找的a[p:r]中第k小元素是a[i+1:r]中第k-j小元素。
return RandomizedSelect(a,i+1,r,k-j);
}
}
void RandomizedQuickSort(int r[],int first,int end)
{
if(first<end)
{
int pivot=RandomizedPartion(r,first,end);
RandomizedQuickSort(r,first,pivot-1);
RandomizedQuickSort(r,pivot+1,end);
}
}
int a[] = {49,38,65,97,76,13,27,49};
int main()
{
for(int i=0; i<8; i++)
{
cout<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
cout<<RandomizedSelect(a,0,7,2)<<endl;
}
中位数：是指将数据按大小顺序排列起来，形成一个数列，居于数列中间位置的那个数据。
算法思路：如果能在线性时间内找到一个划分基准使得按这个基准所划分出的2个子数组的长度都至少为原数组长度的ε倍(0<ε<1),那么就可以在最坏情况下用O(n)时间完成选择任务。例如，当ε=9/10，算法递归调用所产生的子数组的长度至少缩短1/10。所以，在最坏情况下，算法所需的计算时间T(n)满足递推式T(n)<=T(9n/10)+O(n)。由此可得T(n)=O(n)。
实现步骤：
(1)将所有的数n个以每5个划分为一组共
(2)取这
(3)将全部的数划分为两个部分，小于基准的在左边，大于等于基准的放右边。在这种情况下找出的基准x至少比
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;
template <class Type>
void Swap(Type &x,Type &y);
inline int Random(int x, int y);
void BubbleSort(int r[],int s,int t);
template <class Type>
int Partition(Type a[],int p,int r,Type x);
template <class Type>
Type Select(Type a[],int p,int r,int k);
int main()
{
//初始化数组
int a[100];
//必须放在循环体外面
srand((unsigned)time(0));
for(int i=0; i<100; i++)
{
a[i] = Random(0,500);
cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";
}
cout<<endl;
cout<<"第83小元素是"<<Select(a,0,99,83)<<endl;
//重新排序，对比结果
BubbleSort(a,0,99);
for(int i=0; i<100; i++)
cout<<"a["<<i<<"]:"<<a[i]<<" ";
cout<<endl;
}
template <class Type>
void Swap(Type &x,Type &y)
{
Type temp = x;
x = y;
y = temp;
}
inline int Random(int x, int y)
{
int ran_num = rand() % (y - x) + x;
return ran_num;
}
void BubbleSort(int r[],int s,int t)
{//对r[s:t]排序
int exchange=t;
while(exchange)
{
int bound=exchange;//上次交换的位置
exchange=0;
for(int j=s;j<bound;j++)//只需比较到上次最后发生交换的位置
{
if(r[j]>r[j+1])
{
int temp=r[j];
r[j]=r[j+1];
r[j+1]=temp;
exchange=j;//最终记录最后一次交换的位置
//j是无序区最后一个数的位置
}
}
}
}
template <class Type>
int Partition(Type s[],int l,int r,Type x)//快速排序中的一次划分
{
int i = l - 1,j = r + 1;
while(true)
{
while(s[++i]<x && i<r);
while(s[--j]>x);
if(i>=j)
{
break;
}
Swap(s[i],s[j]);
}
return j;
}
template <class Type>
Type Select(Type a[],int p,int r,int k)
{
if(r-p<75)
{
BubbleSort(a,p,r);
return a[p+k-1];
}
//r-p-4相当于n-5
for(int i=0; i<=(r-p-4)/5; i++)
{
//将元素每5个分成一组，分别排序，并将该组中位数与a[p+i]交换位置
//使所有中位数都排列在数组最左侧，以便进一步查找中位数的中位数
BubbleSort(a,p+5*i,p+5*i+4);//将每一组的5个元素排序
cout<<"第"<<i<<"组中位数："<<a[p+5*i+2]<<endl;
Swap(a[p+5*i+2],a[p+i]);
}
//找中位数的中位数
Type x = Select(a,p,p+(r-p-4)/5,(r-p-4)/10);
cout<<"中位数的中位数x="<<x<<endl;
int i = Partition(a,p,r,x);
int j = i-p+1;
if(k<=j)
return Select(a,p,i,k);
else
return Select(a,i+1,r,k-j);
}
代码中的中位数的中位数x并非真正意义上的中位数：
若中位数有奇数个，即共分奇数个组，代码中x是比中位数小的那个数；若中位数有偶数个，即共分偶数个组，代码中的x是比中间两个数小的那个数。