之前写了最大子数组问题的分治法,今天把这个问题的线性时间复杂度的算法写出来。
这个方法在算法导论最大子数组问题的课后思考题里面提出来了,只是说的不够详细。
思考题如下:使用如下思想为最大子数组问题设计一个非递归的,线性时间复杂度的算法。从数组左边界开始,由左至右处理,记录到目前为止已经处理过的最大子数组。若已知A[1...j]的最大子数组,基于如下性质将解扩展为A[1...j+1]的最大子数组:A[1...j+1]的最大子数组要么是A[1...j]的最大子数组,要么是某个子数组A[i...j+1](1<=i<=j+1)。在已知A[1...j]的最大子数组的情况下,可以在线性时间内找出形如A[i..j+1]的最大子数组
思考题里面已经把基本思想说的很清楚了,只是
“在已知A[1...j]的最大子数组的情况下,可以在线性时间内找出形如A[i..j+1]的最大子数组”
这句话里面描述的方法没有说出来.这里我先把我的结论说出来,接下来再证明。
结论:在已知A[1...j]的最大子数组的情况下(假设A[1..j]的最大子数组是A[k...l]),找出A[i..j+1](1<=i<=j+1)的最大子数组是如下三个子数组中的最大和
1.A[k...l]
2.A[k...j+1]
3.max{A[x...j+1] | x为k + 2 至 j + 1}
也就是说,如果新的最大子数组不是原来的最大子数组,那么新的最大子数组的终点必然是j+1.这个是显而易见的。
假设新的最大子数组不是原来的,那么起点是哪里呢?
1.起点不可能小于k。因为如果小于k,那么说明有A[x...j+1]>A[k...j+1](x<k),即存在A[x...k-1]>0,这显然是不可能的。
2.起点不可能大于k小于等于l。因为如果那样的话,说明有A[x...j+1]>A[k...j+1](k<x<=l),即A[k...x-1]<0,即最大子数组的起点到它中间某个点小于0,这是不可能的。
3.起点不可能位于j + 1,因为j+1必然小于0。
所以算法很容易就得出来了。
下面是这个问题的java实现。我没做多少测试,有错误的话请指正。
public class FindMaxSubIntArray { public static class Result { int max; int start; int end; } public static Result findMaxSubIntArray(int[] a) { if (a == null || a.length < 1) return null; Result res = new Result(); res.max = a[0]; res.start = 0; res.end = 0; for (int i = 1; i < a.length; i++) { int max1 = a[i];//max1求的是上述三个子数组中的第二个 int max2 = a[i];//max2求的是上述有一个子数组的第三个 int max2_start = i; for (int j = i - 1; j > res.end; j--) {//这里之所以求到res.end,没有避开res.end+1,是想要让max1加上res.end+1处的值 max1 += a[j]; if (max2 + a[j] > max2) { max2 += a[j]; max2_start = j; } } max1 += res.max; if (max1 >= res.max && max1 >= max2) { res.max = max1; res.end = i; } if (max2 >= max1 && max2 >= res.max) { res.max = max2; res.start = max2_start; res.end = i; } } return res; } /** * @param args */ public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub int[] a = { 1,-2,4,-6,6,-2,-8 }; Result res = findMaxSubIntArray(a); System.out.println(res.start + " " + res.end + " " + res.max); } }