UESTC_酱神的旅行 2015 UESTC Training for Dynamic Programming

M - 酱神的旅行

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酱神要去一棵树上旅行。

酱神制定了一个旅行计划，他要按顺序去m个树上的结点，a1,a2,a3,...,am。

酱神有一辆车，树上的每一条边既可以开车通过，也可以走过去，两种方法需要不同的时间。如果选择走路，酱神需要先把车停在结点上，在他下一次要开车的时候，必须先回到停车的结点取车。

酱神和他的爱车一开始都在a1结点上，酱神要依次访问完这m个结点最少需要多少时间。

Input

第一行两个数n,m。

1=<n,m<=5000

接下来n−1行，每行4个数，u,v,walk,drive。表示结点u和结点v之间有一条走路耗时为walk，开车耗时为drive的边。

1=<u,v<=n

1=<walk,drive<=109

最后输入m个数，a1,a2,a3,...,am， 酱神要按顺序访问的结点。

1=<ai<=n

Output

输出一个数，酱神的最小耗时。

Sample input and output

Sample Input	Sample Output
2 2 1 2 3 100 1 2	3
4 4 1 2 1 20 3 2 100 1 2 4 1 100 1 2 3 4	23

解题报告:

注意到树上两个点之间的路径是唯一的，且访问点的顺序是固定的，也就是说，经过的点的顺序是固定的，于是我们不妨令

dp(i , j )表示在路径在的第 i 个点，且是否有车的最小花费( 0 -> 无车 ， 1 -> 有车 )

dp(cur , 0 ) = min ( dp( cur^1 , 0 ) , dp( cur^1 , 1 ) ) + walk_cost( i -> i + 1) )

è 直接走路过来 / 把车停在上一个点

dp(cur , 1 ) = min ( dp( cur^1 , 1 ) + car_cost(i -> i + 1)  , f[r] + sum[i] )  -> r = a[i]

-> 直接开车过来 / 原来车就停在这，现在回来取（维护走路长度的前缀和）

-> f[r] = min( f[r] , dp(cur , 1) - sum[ cur ^ 1 ] );

注意到本题时限的原因，每次调用无根树转有根树时，需用BFS实现

若需要进一步降低时限，可使用LCA的离线算法，可将复杂度降低至O(N + Q),求路径上的点就不再累述.

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#define pb push_back
typedef long long ll;
const int maxn = 5e3 + ;
const ll inf = ;
using namespace std;
int n,m,prenode[maxn],cur = ,h[maxn],passnode[maxn],size,pretarget,target;
ll dp[][],f[maxn],sum[],walkdis[maxn],cardis[maxn];

typedef struct Edge
{
  int target,walk,drive;
  Edge(const int & target, const int & walk , const int & drive)
   {
         this->target = target , this->walk = walk , this->drive = drive;
   }
};

vector<Edge>E[maxn];

typedef struct status
{
   int pos,fat;
};

//无根树转有根树，BFS实现（比递归快 20 % )
inline void init_prenode(int pos)
{
   status q[maxn*];
   register int front =  , rear = ;
   q[rear].pos = pos , q[rear++].fat =  ;
   while(front < rear)
    {
       int thispos = q[front].pos;
       int thisfat = q[front].fat;
       prenode[thispos] = thisfat;
       for(int i =  ; i < E[thispos].size() ; ++ i)
        {
           int nextnode = E[thispos][i].target;
           if (nextnode != thisfat)
           {
              if (prenode[nextnode] == thispos) continue; //剪枝
                q[rear].pos = nextnode , q[rear++].fat = thispos;
           }
           else
           walkdis[thisfat] = E[thispos][i].walk , cardis[thisfat] = E[thispos][i].drive;
        }
       ++front;
    }
}

inline void add_nodes()
{
   int k = prenode[pretarget];
   while(k)
    {
          passnode[size++] = k;
          k = prenode[k];
    }
}

int main(int argc,char *argv[])
{
  int st;
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(int i =  ; i < n -  ; ++ i)
   {
         int a,b,c,d;
         scanf("%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d);
         E[a].pb(Edge(b,c,d));
         E[b].pb(Edge(a,c,d));
   }
  for(int i =  ; i <=  ; ++ i)
   f[i] = inf;
  memset(dp,,sizeof(dp));
  memset(sum,,sizeof(sum));
  memset(prenode,,sizeof(prenode));
  memset(cardis,,sizeof(cardis));
  memset(walkdis,,sizeof(walkdis));
  size = ;
  dp[cur][] = inf;
  dp[cur][] = ;
  if (m == )
   {
         printf("0\n");
         return ;
   }
  scanf("%d",&pretarget);
  init_prenode(pretarget);
  for(int times =  ; times < m ; ++ times)
   {
         scanf("%d",&target);
         size = ;
         init_prenode(target);
         add_nodes();
         for(int i =  ; i < size ; ++ i)
          {
                cur ^= ;
                int r = passnode[i];
                sum[cur] = sum[cur^] + walkdis[r];
             dp[cur][] = min(dp[cur^][] , dp[cur^][]) + walkdis[r];
             dp[cur][] =  min( dp[cur^][] + cardis[r] , f[r] + sum[cur]);
             f[r] = min(f[r] , dp[cur][] - sum[cur]);
       }
         pretarget = target;
   }
  printf("%lld\n",min(dp[cur][],dp[cur][]));
  return ;
}