有理数
有理数出现的最早，它是伴随人们的生产实践而生产的。0也是有理数。有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。注意，“无限循环小数” 也可以表示为有理数，是因为 “无限循环小数” 可以表示为分数。然后 “无限不循环小数” 无法表示为分数，所以它被称之为 “无理数”。
无理数
无理数的发现，应该归功于古希腊毕达哥拉斯学派。无理数的出现，与德谟克利特的“原子论”发生矛盾。根据这一理论，任何两个线段的比，不过是它们所含原子数目的经。而 “等边直角三角形” 的勾股定理却说明了存在着不可通约的线段。
也就是说使用勾股定理求“等边直角三角形”斜边的长时，得到的是“无限不循环小数”，这个数无法用分数表示，“无限不循环小数”被称之为无理数。
不可通约线段的存在，使古希腊的数学家感到左右为难，因为他们的学说中只有整数和分数的概念，他们不能完全表示正方形对角线与边长的比，也就是说，在他们那里，正方形对角线与边长的比不能用任何“数”来表示。
虚数
到了16世纪，意大利数学家卡尔达诺在其著作《大术》中，把记为 1545R15-15m 这是最早的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637年法国数学家笛卡尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。
1545年意大利米兰的卡尔达诺发表了文艺复兴时期最重要的一部代数学著作，提出了一种求解一般三次方程的求解公式，例如 \(x^{3}+ax+b=0\) 的三次方程解如下：
\[x={(-b/2)+[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3+{(-b/2)-[(b2)/4+(a3)/27]1/2}1/3\]
当卡丹试图用该公式解方程 \(x^{3}-15x-4=0\) 时他的解是：
\[ x=[2+(-121)^{(1/2)}]^{(1/3)}+[2-(-121)^{(1/2)}]^{(1/3)}\]
在那个年代负数本身就是令人怀疑的，负数的平方根就更加荒谬了。因此卡丹的公式给出 x=(2+j)+(2-j)=4。容易证明x=4确实是原方程的根，但卡丹不曾热心解释 \((-121)1/2\) 的出现。认为是“不可捉摸而无用的东西”。
直到19世纪初，高斯系统地使用了i这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示a+bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说：“一切形如,√-1，√-2的数学式子都是不可能有的，想象的数，因为它们所表示的是负数的平方根。对于这类数，我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻。”
继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a+bi）用平面上的点来表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复数的应用开辟了道路。现 在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内容。
虚数 \(i\) 的定义：
\[i = \sqrt{-1}\]
由上面定义我们可以知道：
\[i^{2} = (\sqrt{-1})^{2} = -1\]
然后，你可能会认为：
\[i^{2} = (\sqrt{-1})^{2} = \sqrt{(-1)^{2}} =\sqrt{1} = 1\]
但这是说不通的。因为这样的话，你就使两个数（-1 和 +1）经过运算后，都可以得到1，但是 \(i\) 的平方已经为 -1。你不能让它平方运算后等于 +1。这说明在处理虚数时，你可以可以对负数开平方。但你也将不能像以前那样来处理平方根。下面列举三个实例：
\[\sqrt{-25}=\sqrt{25(-1)}=\sqrt{25}\sqrt{-1}=5i\]
\[\sqrt{-18}=\sqrt{9*2*(-1)}=\sqrt{9}\sqrt{2}*\sqrt{-1}=3\sqrt{2}i\]
\[-\sqrt{-6}=-\sqrt{6*(-1)}=-\sqrt{6}\sqrt{-1}=-\sqrt{6}i\]
Complex Numbers: Introduction 复数介绍
Up until now, you've been told that you can't take the square root of a negative number. That's because you had no numbers which were negative after you'd squared them (so you couldn't "go backwards" by taking the square root). Every number was positive after you squared it. So you couldn't very well square-root a negative and expect to come up with anything sensible.
通常我们都认为负数是无法进行平方根的。那是因为，在一般情况下所有数字在经过平方运算后都会得到一个正数（负数的平方也是一个正数）。
Now, however, you can take the square root of a negative number, but it involves using a new number to do it. This new number was invented (discovered?) around the time of the Reformation. At that time, nobody believed that any "real world" use would be found for this new number, other than easing the computations involved in solving certain equations, so the new number was viewed as being a pretend number invented for convenience sake.
不过现在我们可以计算一个负数的平方根。只不过需要一个新的数字，这个数字诞生于一个中宗教改革的时代。那个时候，没有人相信除了一些单纯的数学计算中，人们会在真实世界中使用这个数字。这个数被视为了只是单纯为了计算的方便发明的东西。
(But then, when you think about it, aren't all numbers inventions? It's not like numbers grow on trees! They live in our heads. We made them all up! Why not invent a new one, as long as it works okay with what we already have?)
Anyway, this new number was called "i", standing for "imaginary", because "everybody knew" that i wasn't "real". (That's why you couldn't take the square root of a negative number before: you only had "real" numbers; that is, numbers without the "i" in them.) The imaginary is defined to be:
这个新的数字称为 "i" ，它是人们想像出来的，因为 “所有人都知道” 它不是一个真实的数字。
\[i = \sqrt{-1}\]
\[i^{2} = ( \sqrt{-1} )^{2} = -1\]
复平面
利用复数的几何表示法，复数又可以用坐标平面上的向量来表示，两个复数相加可以按照向量加法的平行四边形法则来进行，一个复数乘以i（或-i）相当于表示此复数的向量逆（或顺）时针旋转90。这就使得物理上的许多向量：力、速度、加速度等等，都可以借助于复数来进行计算，使复数成为物理学和其他自然科学的重要工具。
为什么要用复数
复数理论已越来越显出它的重要性,它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义,而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力,也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据.引入复数后,所有的多项式方程都有解,于是任何一个多项式都可以分解为一次因式的乘积.其次,复数引入之后就给复分析创造了条件.许多原来只定义在实数上的函数可以定义在复数上,如ζ函数,然后扩充定义之后ζ函数又反过来推出许多定理,比如素数定理.又例如,物理上用复数处理电学问题,霍金也用复数表示时间.
负数没有实平方根,所以判别式小于0的二次方程无解.
为解决这个问题,首先引入复数的是数学家卡尔达诺.他把纯虚数表示为根号负数.事实上,他也觉得很矛盾.一方面,他觉得虚数是虚幻的,构造的,“什么也没有”,但是又“比什么也没有多一点东西”.
当年,数学家引入复数并没有过于高深的目的,但是,复数的引入却导致了数学乃至自然科学的巨大进步.引入复数后,所有的多项式方程都有解,于是任何一个多项式都可以分解为一次因式的乘积.其次,复数引入之后就给复分析创造了条件.许多原来只定义在实数上的函数可以定义在复数上,如ζ函数,然后扩充定义之后ζ函数又反过来推出许多定理,比如素数定理.又例如,物理上用复数处理电学问题,霍金也用复数表示时间.