logistic逻辑回归公式推导及R语言实现

时间：2023-03-09 06:21:50
logistic逻辑回归公式推导及R语言实现

Logistic逻辑回归

Logistic逻辑回归模型

线性回归模型简单，对于一些线性可分的场景还是简单易用的。Logistic逻辑回归也可以看成线性回归的变种，虽然名字带回归二字但实际上他主要用来二分类，区别于线性回归直接拟合目标值，Logistic逻辑回归拟合的是正类和负类的对数几率。

假设有一个二分类问题，输出为y∈{0,1}

定义sigmoid函数: logistic逻辑回归公式推导及R语言实现

用sigmoid函数的输出是0，1之间，用来拟合y=1的概率，其函数R语言画图如下：

x = seq(-5, 5, 0.1)

y = 1 / (1 + exp(-1*x))

plot(x, y, type="line")

logistic逻辑回归公式推导及R语言实现

logistic逻辑回归可以拟合因变量为1的概率,最终分类的时候，我们可以一个阈值，比如0.5，大于阈值的都分为正类，向量化公式如下：

logistic逻辑回归公式推导及R语言实现

还可以换一种方式理解logistic逻辑回归，他是用多元线性函数去拟合因变量为正例与反例的比值的自然对数，推导如下：

logistic逻辑回归公式推导及R语言实现

logistic逻辑回归公式推导及R语言实现

Logistic逻辑回归算法

  • 假设自变量维度为N
  • W为自变量的系数，下标0 - N
  • X为自变量向量或矩阵，X维度为N,为了能和W0对应，X需要在第一行插入一个全是1的列。
  • Y为因变量
  • W为未知数待求解

最大似然估计法

logistic逻辑回归公式推导及R语言实现

梯度下降法迭代公式

logistic逻辑回归公式推导及R语言实现

R语言实现

使用iris数据集

> head(iris)

  Sepal.Length Sepal.Width Petal.Length Petal.Width Species

1          5.1         3.5          1.4         0.2  setosa

2          4.9         3.0          1.4         0.2  setosa

3          4.7         3.2          1.3         0.2  setosa

4          4.6         3.1          1.5         0.2  setosa

5          5.0         3.6          1.4         0.2  setosa

6          5.4         3.9          1.7         0.4  setosa

将数据分为训练数据和测试数据

R语言使用批量梯度下降法迭代求解

iris2 = rbind(subset(iris, Species=='setosa'), subset(iris, Species=='versicolor'))

X <- cbind(rep(1, nrow(iris2)), iris2$Sepal.Length, iris2$Sepal.Width, iris2$Petal.Length, iris2$Petal.Width)

Y <- as.numeric(iris2$Species) - 1

maxIterNum <- 2000;

step <- 0.05;

W <- rep(0, ncol(X))

m = nrow(X)

sigmoid <- function(z) { 1 / (1 + exp(-z))}

for (i in 1:maxIterNum){

    grad <- t(X) %*% (sigmoid(X %*% W)-Y);

    if (sqrt(as.numeric(t(grad) %*% grad)) < 1e-8){

        print(sprintf('iter times=%d', i));

        break;

    }

    W <- W - grad * step;

}

print(W);

hfunc <- function(a) {if (a > 0.5) return(1) else return (0);}

myY = apply(sigmoid(X %*% W), 1, hfunc)

print(cbind(Y, myY))

输出后，可以看到拟合完全正确，因为本文只是为了推导一下逻辑回归的算法，所以直接用全部数据拟合，没有再抽出一部分做测试数据。

总结

  • 应该增加一部分训练数据，验证模型的正确性
  • 应该增加正则项避免过拟合，比如L2正则

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