hdu 3045 Picnic Cows(斜率优化DP)

题意：

有n个奶牛分别有对应的兴趣值，现在对奶牛分组，每组成员不少于t，
在每组中所有的成员兴趣值要减少到一致，问总共最少需要减少的兴趣值是多少。

题解：

分析：
先对n个数进行排序，则可以分析出分组成员一定是连续的
dp[i]表示前i个数得到的最少值
则:从j~i作为一组
dp[i]=dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]-(i-j+1)*s[j];//sum[i]表示前i个数的和
=>dp[i]=dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]-i*s[j];
由于有i*s[j]这一项,所以无法直接在扫描数组的过程中用单调队列维护：
dp[j-1]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]-i*s[j]的最小值。
考虑用斜率dp!
假定k<j<=i-t以j~i作为一组比以k~i作为一组更优
则：
dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]-(i-j+1)*s[j] <= dp[k-1]+sum[i]-sum[k-1]-(i-k+1)*s[k]
=>dp[j-1]+sum[i]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]-i*s[j] <= dp[k-1]+sum[i]-sum[k-1]+(k-1)*s[k]-i*s[k]
=>(dp[j-1]-sum[j-1]+(j-1)*s[j] - (dp[k-1]-sum[k-1]+(k-1)*s[k]))/(s[j]-s[k])<=i;//保证s[j]>=s[k]
令:
y1 = dp[j-1]-sum[j-1]+(j-1)*s[j]
y2 = dp[k-1]-sum[k-1]+(k-1)*s[k]
x1 = s[j]
x2 = s[k]
所以变成了：
(y1 - y2)/(x1 - x2) <= i;
斜率!
只需要维护这个斜率即可

 #include<bits/stdc++.h>

 #define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int N=5e5+;

 int n,t,Q[N];

 ll sum[N],s[N],dp[N];

 ll get_y(int j,int k)

 {

     return dp[j-]-sum[j-]+(j-)*s[j]-(dp[k-]-sum[k-]+(k-)*s[k]);

 }

 ll get_x(int j,int k){return s[j]-s[k];}

 int check(int i,int j,int k)//获取更优的点

 {

     return get_y(i,j)*get_x(j,k)<=get_y(j,k)*get_x(i,j);

 }

 int main()

 {

     while(~scanf("%d%d",&n,&t))

     {

         F(i,,n)scanf("%lld",s+i);

         sort(s+,s++n);

         F(i,,n)sum[i]=sum[i-]+s[i];

         int en=*t-;

         F(i,t,en)dp[i]=sum[i]-i*s[];//从t到2*t-1都只能分到一组里

         int head=,tail=,st=*t;

         F(i,st,n)

         {

             while(head<tail&&check(i-t+,Q[tail],Q[tail-]))tail--;

             Q[++tail]=i-t+;

             while(head<tail&&get_y(Q[head+],Q[head])<=get_x(Q[head+],Q[head])*i)head++;

             dp[i]=dp[Q[head]-]+sum[i]-sum[Q[head]-]-(i-Q[head]+)*s[Q[head]];

         }

         printf("%lld\n",dp[n]);

     }

     return ;

 }

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