[Codeforces 946F]Fibonacci String Subsequences

Description

定义 \(F(x)\) 为 \(F(x-1)\) 与 \(F(x-2)\) 的连接（其中 \(F(0) = "0",F(1) = "1"\) ）。给出一个长度为 \(n\) 的 \(01\) 字符串 \(s\) ，询问 \(s\) 在 \(F(x)\) 的所有子序列中出现了多少次。

\(1\leq n\leq 100,0\leq x\leq 100\)

Solution

首先 \(F(x)\) 是递归来定义的，显然我们可以递推来计算答案。

记 \(f_{l,r,i}\) 表示 \(F(i)\) 的所有子串中 \(s_{l\sim r}\) 出现的次数。

来考虑转移，一共有三部分：

\(l\sim r\) 完全在 \(F(i-1)\) 中。此时若 \(r=n\) ，那么可以在 \(F(i-2)\) 中乱选，则有 \(2^{len(F(i-2))}\) 种；若 \(r\neq n\) ，因为不能在后面乱选，所以贡献只有 \(1\) 倍。
\(l\sim r\) 完全在 \(F(i-2)\) 中。这种讨论和 1. 中相同。
最后分为在不同的两段中，设 \(s_{l\sim k}\) 在 \(F(i-1)\) 中；设 \(s_{k+1\sim r}\) 在 \(F(i-2)\) 中。则 \(f_{l,r,i}=f_{l,k,i-1}\times f_{k+1,r,i-2}\) 。

Code

//It is made by Awson on 2018.3.13

#include <bits/stdc++.h>

#define LL long long

#define dob complex<double>

#define Abs(a) ((a) < 0 ? (-(a)) : (a))

#define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))

#define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))

#define Swap(a, b) ((a) ^= (b), (b) ^= (a), (a) ^= (b))

#define writeln(x) (write(x), putchar('\n'))

#define lowbit(x) ((x)&(-(x)))

using namespace std;

const int N = 100, yzh = 1e9+7;

void read(int &x) {

    char ch; bool flag = 0;

    for (ch = getchar(); !isdigit(ch) && ((flag |= (ch == '-')) || 1); ch = getchar());

    for (x = 0; isdigit(ch); x = (x<<1)+(x<<3)+ch-48, ch = getchar());

    x *= 1-2*flag;

}

void print(LL x) {if (x > 9) print(x/10); putchar(x%10+48); }

void write(LL x) {if (x < 0) putchar('-'); print(Abs(x)); }

int n, x, g[N+5];

int f[N+5][N+5][N+5];

char ch[N+5];

int quick_pow(int a, int b) {

    int ans = 1;

    while (b) {

    if (b&1) ans = 1ll*ans*a%yzh;

    b >>= 1, a = 1ll*a*a%yzh;

    }

    return ans;

}

void work() {

    read(n), read(x); scanf("%s", ch+1); g[0] = g[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= x; i++) g[i] = (g[i-1]+g[i-2])%(yzh-1);

    for (int i = 0; i <= x; i++) g[i] = quick_pow(2, g[i]);

    for (int i = 1; i <= n; i++)

    if (ch[i] == '0') f[i][i][0] = 1; else f[i][i][1] = 1;

    for (int i = 2; i <= x; i++) {

    for (int l = 1; l <= n; l++)

        for (int r = l; r <= n; r++) {

        if (r == n) (f[l][r][i] += 1ll*f[l][r][i-1]*g[i-2]%yzh) %= yzh;

        else (f[l][r][i] += f[l][r][i-1]) %= yzh;

        if (l == 1) (f[l][r][i] += 1ll*f[l][r][i-2]*g[i-1]%yzh) %= yzh;

        else (f[l][r][i] += f[l][r][i-2]) %= yzh;

        for (int k = l; k < r; k++)

            (f[l][r][i] += 1ll*f[l][k][i-1]*f[k+1][r][i-2]%yzh) %= yzh;

        }

    }

    writeln(f[1][n][x]);

}

int main() {

    work(); return 0;

}