求集合的所有子集问题
Given a set of distinct integers, S, return all possible subsets.
Note:
- Elements in a subset must be in non-descending order.
- The solution set must not contain duplicate subsets.
For example,
If S = [1,2,3], a solution is:
[
[3],
[1],
[2],
[1,2,3],
[1,3],
[2,3],
[1,2],
[]
] 本文地址
分析：求集合的所有子集问题。题目要求子集中元素非递减序排列，因此我们先要对原来的集合进行排序。原集合中每一个元素在子集中有两种状态：要么存在、要么不存在。这样构造子集的过程中每个元素就有两种选择方法：选择、不选择，因此可以构造一颗二叉树，例如对于例子中给的集合[1,2,3]，构造的二叉树如下（左子树表示选择该层处理的元素，右子树不选择），最后得到的叶子节点就是子集：
算法1：根据上面的启发，我们可以用dfs来得到树的所有叶子节点，代码如下：
class Solution {
private:
vector<vector<int> >res;
public:
vector<vector<int> > subsets(vector<int> &S) {
// IMPORTANT: Please reset any member data you declared, as
// the same Solution instance will be reused for each test case.
//先排序，然后dfs每个元素选或者不选，最后叶子节点就是所有解
res.clear();
sort(S.begin(), S.end());
vector<int>tmpres;
dfs(S, , tmpres);
return res;
}
void dfs(vector<int> &S, int iend, vector<int> &tmpres)
{
if(iend == S.size())
{res.push_back(tmpres); return;}
//选择S[iend]
tmpres.push_back(S[iend]);
dfs(S, iend+, tmpres);
tmpres.pop_back();
//不选择S[iend]
dfs(S, iend+, tmpres);
}
};
算法2：从上面的二叉树可以观察到，当前层的集合 = 上一层的集合 + 上一层的集合加入当前层处理的元素得到的所有集合（其中树根是空集），因此可以从第二层开始（第一层是空集合）迭代地求最后一层的所有集合（即叶子节点），代码如下：
class Solution {
public:
vector<vector<int> > subsets(vector<int> &S) {
// IMPORTANT: Please reset any member data you declared, as
// the same Solution instance will be reused for each test case.
int len = S.size();
sort(S.begin(), S.end());
vector<vector<int> > res();//开始加入一个空集
for(int i = ; i < len; ++i)
{
int resSize = res.size();
for(int j = ; j < resSize; j++)
{
res.push_back(res[j]);
res.back().push_back(S[i]);
}
}
return res;
}
};
算法3：可以根据二进制的思想，比如对于3个元素的集合，000表示一个元素都不选择，001表示选择第一个元素，101表示选择第一个和第三个元素...。因此如果集合大小为n，我们只需要让一个整数从0逐渐增加到2^n-1, 每个整数的二进制形式可以表示一个集合。如果用整数的二进制表示集合，这个算法有个限制，最大能表示集合元素的个数为64（unsigned long long）。如果使用bitmap，然后模拟二进制的加1操作，则对集合大小就没有限制。刚好这一题集合的大小不超过64
class Solution {
public:
vector<vector<int> > subsets(vector<int> &S) {
// IMPORTANT: Please reset any member data you declared, as
// the same Solution instance will be reused for each test case.
int len = S.size();
sort(S.begin(), S.end());
vector<vector<int> > res();//开始加入一个空集
unsigned long long bit = , bitmax = (<<len);
vector<int> tmpres;
while(bit < bitmax)
{
tmpres.clear();
unsigned long long curBit = bit;
for(int i = ; i < len; i++)//依次检测前len个二进制位
{
if(curBit & )
tmpres.push_back(S[i]);
curBit >>= ;
}
res.push_back(tmpres);
bit++;
}
return res;
}
};
Given a collection of integers that might contain duplicates, S, return all possible subsets.
Note:
- Elements in a subset must be in non-descending order.
- The solution set must not contain duplicate subsets.
For example,
If S = [1,2,2], a solution is:
[
[2],
[1],
[1,2,2],
[2,2],
[1,2],
[]
]
分析：在上一题的基础上，可以允许集合中包含重复元素，我们也把相应的二叉树画出类，以集合{1,2,2}举例
算法1：dfs解法。注意到处理第三个元素2时，因为前面已经处理了一次2，所有第三层中，我们只在已经添加过2的集合{1,2}、{2}上再添加2，而没有在集合{1}, {}上添加2（画叉叉的那么分支），假设下面还有一个2，那么我们只在第四层的包含两个2的集合{1,2,2}、{2,2}上再添加2，其它都不添加。因此dfs时，如果当前处理的数字前面出现了k次，那么我们要处理的集合中必须包含k个该元素。代码如下：
class Solution {
private:
vector<vector<int> >res;
public:
vector<vector<int> > subsetsWithDup(vector<int> &S) {
// IMPORTANT: Please reset any member data you declared, as
// the same Solution instance will be reused for each test case.
//先排序，然后dfs每个元素选或者不选，最后叶子节点就是所有解
res.clear();
sort(S.begin(), S.end());
vector<int>tmpres;
dfs(S, , tmpres);
return res;
}
void dfs(vector<int> &S, int iend, vector<int> &tmpres)
{
if(iend == S.size())
{res.push_back(tmpres); return;}
int firstSame = iend;
while(firstSame >= && S[firstSame] == S[iend])firstSame--;
firstSame++; //firstSame是第一个和S[iend]相同数字的位置
int sameNum = iend - firstSame;//和S[iend]相同数字的个数(除自己)
if(sameNum == ||
(tmpres.size() >= sameNum && tmpres[tmpres.size() - sameNum] == S[iend]))
{
//选择S[iend]
tmpres.push_back(S[iend]);
dfs(S, iend+, tmpres);
tmpres.pop_back();
}
//不选择S[iend]
dfs(S, iend+, tmpres);
}
};
算法2：在上一题算法2的基础上，如果当前处理的元素没有出现过，则把前面得到的所有集合加上该元素；如果出现过，则只把上一轮处理的集合加上该元素。比如处理第二个2时（二叉树第三层），我们只把上一轮添加过数字的集合{1,2}、{2}再添加一个2加入结果中，{1}、{}是从上一层直接继承下来的，所以不作处理。代码如下：
class Solution {
private:
vector<vector<int> >res;
public:
vector<vector<int> > subsetsWithDup(vector<int> &S) {
// IMPORTANT: Please reset any member data you declared, as
// the same Solution instance will be reused for each test case.
int len = S.size();
sort(S.begin(), S.end());
vector<vector<int> > res();//开始加入一个空集
int last = S[], opResNum = ;//上一个数字、即将要进行操作的子集数量
for(int i = ; i < len; ++i)
{
if(S[i] != last)
{
last = S[i];
opResNum = res.size();
}
//如果有重复数字，即将操作的子集的数目和上次相同
int resSize = res.size();
for(int j = resSize-; j >= resSize - opResNum; j--)
{
res.push_back(res[j]);
res.back().push_back(S[i]);
}
}
return res;
}
};
上一题基于二进制思想的算法3不适合于包含重复元素的集合
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