动态规划之01背包问题

动态规划的基本思想：

将一个问题分解为子问题递归求解，且将中间结果保存以避免重复计算。通常用来求最优解，且最优解的局部也是最优的。求解过程产生多个决策序列，下一步总是依赖上一步的结果，自底向上的求解。

动态规划算法可分解成从先到后的4个步骤：

1. 描述一个最优解的结构，寻找子问题，对问题进行划分。

2. 定义状态。往往将和子问题相关的各个变量的一组取值定义为一个状态。某个状态的值就是这个子问题的解（若有k个变量，一般用K维的数组存储各个状态下的解，并可根   据这个数组记录打印求解过程。）。

3. 找出状态转移方程。一般是从一个状态到另一个状态时变量值改变。

4.以“自底向上”的方式计算最优解的值。

5. 从已计算的信息中构建出最优解的路径。(最优解是问题达到最优值的一组解)

其中步骤1~4是动态规划求解问题的基础，如果题目只要求最优解的值，则步骤5可以省略。

背包问题

01背包:有N件物品和一个重量为M的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包:有N种物品和一个重量为M的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量，且价值总和最大。

多重背包:有N种物品和一个重量为M的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件重量是w[i]，价值是p[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包重量，且价值总和最大。

01背包问题：

 

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

c[i][m]=max{c[i-1][m],c[i-1][m-w[i]]+p[i]}

这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入重量为m的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为c[i-1][m]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的重量为m-w[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是c[i-1][m-w[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值p[i]。

测试数据：
10,3
3,4
4,5
5,6

 

c[i][j]数组保存了1,2,3号物品依次选择后的最大价值.

这个最大价值是怎么得来的呢?从背包容量为0开始,1号物品先试,0,1,2,的容量都不能放.所以置0,背包容量为3则里面放4.这样,这一排背包容量为4,5,6,....10的时候，最佳方案都是放4.假如1号物品放入背包.则再看2号物品.当背包容量为3的时候，最佳方案还是上一排的最价方案c为4.而背包容量为5的时候，则最佳方案为自己的重量5.背包容量为7的时候，很显然是5加上一个值了。加谁??很显然是7-4=3的时候.上一排c3的最佳方案是4.所以。总的最佳方案是5+4为9.这样.一排一排推下去。最右下放的数据就是最大的价值了。(注意第3排的背包容量为7的时候,最佳方案不是本身的6.而是上一排的9.说明这时候3号物品没有被选.选的是1,2号物品.所以得9.)

1. public class Pack01 {  
2.   
3.     public int [][] pack(int m,int n,int w[],int p[]){  
4.         //c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值  
5.         int c[][]= new int[n+1][m+1];  
6.         for(int i = 0;i<</span>n+1;i++)  
7.             c[i][0]=0;  
8.         for(int j = 0;j<</span>m+1;j++)  
9.             c[0][j]=0;  
10.         //  
11.         for(int i = 1;i<</span>n+1;i++){  
12.             for(int j = 1;j<</span>m+1;j++){  
13.                 //当物品为i件重量为j时，如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时，c[i][j]为下列两种情况之一：  
14.                 //(1)物品i不放入背包中，所以c[i][j]为c[i-1][j]的值  
15.                 //(2)物品i放入背包中，则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值  
16.                 if(w[i-1]<</span>=j){  
17.                     if(c[i-1][j]<</span>(c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1]))  
18.                         c[i][j] = c[i-1][j-w[i-1]]+p[i-1];  
19.                     else  
20.                         c[i][j] = c[i-1][j];  
21.                 }else  
22.                     c[i][j] = c[i-1][j];  
23.             }  
24.         }  
25.         return c;  
26.     }  
27.       
28.     public int[] printPack(int c[][],int w[],int m,int n){  
29.           
30.         int x[] = new int[n];  
31.         //从最后一个状态记录c[n][m]开始逆推  
32.         for(int i = n;i>0;i--){  
33.             //如果c[i][m]大于c[i-1][m]，说明c[i][m]这个最优值中包含了w[i-1](注意这里是i-1，因为c数组长度是n+1)  
34.             if(c[i][m]>c[i-1][m]){  
35.                 x[i-1] = 1;  
36.                 m-=w[i-1];  
37.             }  
38.         }  
39.         for(int j = 0;j<</span>n;j++)  
40.             System.out.println(x[j]);  
41.         return x;  
42.     }  
43.     public static void main(String args[]){  
44.         int m = 10;  
45.         int n = 3;  
46.         int w[]={3,4,5};  
47.         int p[]={4,5,6};  
48.         Pack01 pack = new Pack01();  
49.         int c[][] = pack.pack(m, n, w, p);  
50.         pack.printPack(c, w, m,n);  
51.     }  
52. }