BZOJ5298 CQOI2018交错序列（动态规划+矩阵快速幂）

时间：2023-03-08 19:51:18
BZOJ5298 CQOI2018交错序列（动态规划+矩阵快速幂）

　　显然答案为Σkb·(n-k)a·C(n-k+1,k)。并且可以发现ΣC(n-k,k)=fibn。但这实际上没有任何卵用。

　　纯组合看起来不太行得通，换个思路，考虑一个显然的dp，即设f[i][j][0/1]为前i为选了j个1其中第i位是0/1的方案数。这样当然能求出答案，复杂度O(n2)。

　　注意到ab很小，并且事实上我们并不需要知道所有的方案数，而是只要求出贡献就可以了。而又有xayb=xa(n-x)b，这个式子显然只要求出所有Σxi就能求了。再由二项式定理，(k+1)b=ΣC(b,i)ki。那么做法就比较显然了，维护上述矩阵大力矩乘即可。

　　非常卡常。在bzoj排倒数第二2333

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cmath>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define ll long long

#define N 190

char getc(){char c=getchar();while ((c<'A'||c>'Z')&&(c<'a'||c>'z')&&(c<''||c>'')) c=getchar();return c;}

int gcd(int n,int m){return m==?n:gcd(m,n%m);}

int read()

{

    int x=,f=;char c=getchar();

    while (c<''||c>'') {if (c=='-') f=-;c=getchar();}

    while (c>=''&&c<='') x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();

    return x*f;

}

int n,m,A,B,P,ans,C[N][N];

inline void inc(int &x,int y){x+=y;if (x>=P) x-=P;}

int ksm(int a,int k)

{

    int s=;

    for (;k;k>>=,a=1ll*a*a%P) if (k&) s=1ll*s*a%P;

    return s;

}

struct matrix

{

    int n,a[N][N];

    matrix operator *(const matrix&b) const

    {

        matrix c;c.n=n;memset(c.a,,sizeof(c.a));

        for (int i=;i<n;i++)

            for (int j=;j<b.n;j++)

                for (int k=;k<b.n;k++)

                inc(c.a[i][j],1ll*a[i][k]*b.a[k][j]%P);

        return c;

    }

}f,a;

int main()

{

#ifndef ONLINE_JUDGE

    freopen("bzoj5298.in","r",stdin);

    freopen("bzoj5298.out","w",stdout);

    const char LL[]="%I64d\n";

#else

    const char LL[]="%lld\n";

#endif

    m=n=read(),A=read(),B=read(),P=read();

    C[][]=;

    for (int i=;i<N;i++)

    {

        C[i][]=C[i][i]=;

        for (int j=;j<i;j++)

        C[i][j]=(C[i-][j-]+C[i-][j])%P;

    }

    f.n=;f.a[][]=;

    a.n=A+B+<<;

    for (int i=;i<=A+B;i++) a.a[i][i]++,a.a[i+A+B+][i]++;

    for (int i=;i<=A+B;i++)

        for (int j=i;j<=A+B;j++)

        inc(a.a[i][j+A+B+],C[j][i]);

    for (;n;n>>=,a=a*a) if (n&) f=f*a;

    for (int i=;i<=A+B;i++) inc(f.a[][i],f.a[][i+A+B+]);

    for (int i=B;i<=A+B;i++)

    if (i-B&) inc(ans,P-1ll*f.a[][i]*ksm(m,A+B-i)%P*C[A][i-B]%P);

    else inc(ans,1ll*f.a[][i]*ksm(m,A+B-i)%P*C[A][i-B]%P);

    cout<<ans;

    return ;

}

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