凸包算法是计算几何中的最经典问题之一了。给定一个点集，计算其凸包。凸包是什么就不罗嗦了
本文给出了《计算几何——算法与应用》中一书所列凸包算法的Python实现和Matlab实现，并给出了一个Matlab动画演示程序。
啊，实现谁都会实现啦╮(╯▽╰)╭，但是演示就不一定那么好做了。
算法CONVEXHULL(P)
输入：平面点集P
输出：由CH(P)的所有顶点沿顺时针方向组成的一个列表
1. 根据x-坐标，对所有点进行排序，得到序列p1, …, pn
2. 在Lupper中加入p1和p2（p1在前）
3. for(i←3 ton)
4. do 在Lupper中加入pi
5. while(Lupper中至少还有三个点，而且最末尾的三个点所构成的不是一个右拐)
6. do 将倒数第二个顶点从Lupper中删去
7. 在Llower 中加入pn和pn-1（pn在前）
8. for(i←n-2 downto1)
9. do 在Llower 中加入pi
10. while(Llower 中至少还有三个点，而且最末尾的三个点所构成的不是一个右拐)
11. do 将倒数第二个顶点从Llower 中删去
12. 将第一个和最后一个点从Llower 中删去
（以免在上凸包与下凸包联接之后，出现重复顶点）
13. 将Llower 联接到Lupper后面（将由此得到的列表记为L）
14. return(L)
看看，不是很多的样子是吧。
这里面需要说明的地方只有一点，那就是方向的判定问题。
设有三个点P，Q，R，现需求R位于向量PQ的左侧还是右侧(或者R在PQ上)。
计算PR与PQ的叉积，也就是外积。
如果将向量PR以P为旋转中心旋转只向量PQ的方向走过一个正角(逆时针)，意味着R在PQ的右侧，此时外积为正。
另外需要注意的是，如果在凸包上有三点共线的情况，在本例中三点是均位于凸包边界点集中的。如果想避免这一点，可以通过微量抖动数据的方式解决。
废话不多说，Python实现如下：
#!/usr/bin/env python
# coding: gbk ########################################################################
#Author: Feng Ruohang
#Create: 2014/10/02 13:39
#Digest: Computate the convex hull of a given point list
######################################################################## direction = lambda m: (m[2][0] - m[0][0]) * (m[1][1] - m[0][1]) - (m[1][0] - m[0][0]) * (m[2][1] - m[0][1])
'''
A Quick Side_check version Using Lambda expression
Input: Given a list of three point : m should like [(p_x,p_y), (q_x,q_y), (r_x,r_y)]
Output: Return a Number to indicate whether r on the right side of vector(PQ).
Positive means r is on the right side of vector(PQ).
This is negative of cross product of PQ and PR: Defined by:(Qx-Px)(Ry-Py)-(Rx-Px)(Qy-Py)
Which 'negative' indicate PR is clockwise to PQ, equivalent to R is on the right side of PQ
''' def convex_hull(point_list):
'''
Input: Given a point List: A List of Truple (x,y)
Output: Return a point list: A List of Truple (x,y) which is CONVEX HULL of input
For the sake of effeciency, There is no error check mechanism here. Please catch outside
'''
n = len(point_list) #Total Length
point_list.sort() #Valid Check:
if n < 3:
return point_list #Building Upper Hull: Initialized with first two point
upper_hull = point_list[0:1]
for i in range(2, n):
upper_hull.append(point_list[i])
while len(upper_hull) >= 3 and not direction(upper_hull[-3:]):
del upper_hull[-2] #Building Lower Hull: Initialized with last two point
lower_hull = [point_list[-1], point_list[-2]]
for i in range(n - 3, -1, -1): #From the i-3th to the first point
lower_hull.append(point_list[i])
while len(lower_hull) >= 3 and not direction(lower_hull[-3:]):
del lower_hull[-2]
upper_hull.extend(lower_hull[1:-1])
return upper_hull #========Unit Test:
if __name__ == '__main__':
test_data = [(i, i ** 2) for i in range(1, 100)]
result = convex_hull(test_data)
print result 2015年1月23日
使用很简单，看DocString就行。
下面顺便给出了Matlab 的实现，以及可视化的算法演示：
效果就是个小动画，像这样吧。
Matlab的凸包算法有三个文件：
side_check2：检查三个点构成的弯折的方向
Convex_hull: 凸包算法Matlab实现
Convex_hull_demo：凸包算法的演示。
拷在一个目录里
运行convex_hull_demo( randn(200,2)*100); 就可以看到可视化演示了
这个是辅助函数
%filename: side_check2.m
%Input: Matrix of three point: (2x3 or 3x2)
% P(p_x,p_y),Q(q_x,q_y),R(r_x,r_y)
%Output: 如果P Q R三点构成一个右拐，返回True
% 右拐意味着点R在PQ向量的右侧.此时 function result = side_check2(D)
if all(size(D) ~= [3,2])
if all(size(D)==[2,3])
D = D';
else
error('error dimension')
end
end
result = (det([[1;1;1], D]) < 0 );
这个是纯算法实现。
%filename: convex_hull.m
%CONVEX_HULL
%INPUT: Point Set:(n x 2)
%OUPUT: HULL Point List: (x x 2)
function L=t(P)
[num,dimension] = size(P);
if dimension ~= 2
error('dimension error')
end P = sortrows(P,[1,2]);
%if there is only one or two point remain,return it
if num < 3
L = P;
return
end %STEP ONE: Upper Hull:
L_upper = P([1,2],:); %Take first two points
for i = 3:num
L_upper = [L_upper;P(i,:)]; %add the point into list
while size(L_upper,1) >= 3
l_size = size(L_upper,1);
if det([ones(3,1),L_upper(l_size-2:l_size,:)])= 3
l_size = size(L_lower,1);
if det([ones(3,1),L_lower(l_size-2:l_size,:)])
这个是演示：
%CONVEX_HULL
%INPUT: Point Set:(n x 2)
%OUPUT: HULL Point List: (x x 2)
%Samples: convex_hull_demo( randn(200,2)*100) function L=convex_hull_demo(P) %Test Data
%data_size = data_size
%P = randi([-50,50],[data_size,2]);
[num,dimension] = size(P);
if dimension ~= 2
error('dimension error')
end P = sortrows(P,[1,2]); %====Visual Lization
board_left = min(P(:,1));
board_right = max(P(:,1));
board_bottom = min(P(:,2));
board_up = max(P(:,2));
x_padding = (board_right- board_left)*0.1;
y_padding = (board_up- board_bottom)*0.1;
plot_range= [board_left - x_padding,board_right + x_padding,board_bottom-y_padding,board_up+y_padding]; clf;
scatter(P(:,1),P(:,2),'b.');
axis(plot_range);
hold on
%====VisualLization %if there is only one or two point remain,return it
if num < 3
L = P;
end %STEP ONE: Upper Hull:
L_upper = P([1,2],:); %Take first two points
hull_handle = plot(L_upper(:,1),L_upper(:,2),'ob-');
for i = 3:num
L_upper = [L_upper;P(i,:)]; %add the point into list while size(L_upper,1) >= 3
l_size = size(L_upper,1);
if side_check2(L_upper(l_size-2:l_size,:)) %Check if it is valid
break; %Quit if Valid
else
L_upper(l_size-1,:) = []; %Remove the inner point and continue if not
end
set(hull_handle,'XData',L_upper(:,1),'YData',L_upper(:,2));drawnow; end
set(hull_handle,'XData',L_upper(:,1),'YData',L_upper(:,2));drawnow;
end %Visualization
plot(L_upper(:,1),L_upper(:,2),'bo-');
%Visualization %STEP Two: Build the lower hull
L_lower = [P([num,num-1],:)]; % Add P(n) and P(n-1)
set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow; for i = num-2:-1:1
L_lower = [L_lower;P(i,:)];
while size(L_lower,1) >= 3
l_size = size(L_lower,1);
if side_check2(L_lower(l_size-2:l_size,:)) %Check if it is valid
break; %Quit if Valid
else
L_lower(l_size-1,:) = []; %Remove the inner point and continue if not
end
set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow;
end
set(hull_handle,'XData',L_lower(:,1),'YData',L_lower(:,2));drawnow;
end L_lower([1,size(L_lower,1)],:) = [];
if isempty(L_lower)
L = L_upper;
else
L = [L_upper;L_lower(2:size(L_lower,1)-1,:)];
end
hold off;
return