BZOJ4517: [Sdoi2016]排列计数(组合数+错位排列)

时间：2025-02-26 20:05:14

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Description

求有多少种长度为 n 的序列 A，满足以下条件：
1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次
若第 i 个数 A[i] 的值为 i，则称 i 是稳定的。序列恰好有 m 个数是稳定的
满足条件的序列可能很多，序列数对 10^9+7 取模。

Input

第一行一个数 T，表示有 T 组数据。
接下来 T 行，每行两个整数 n、m。
T=500000，n≤1000000，m≤1000000

Output

输出 T 行，每行一个数，表示求出的序列数

Sample Input

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

Sample Output

0
1
20
578028887
60695423

HINT

Source

啊啊为什么我这么菜QWQ。。
这题一个公式就过去了，
考虑一个数$i$，只有当$i$在第$i$个位置时才能产生贡献，
那么需要产生$m$个数的方案就是$C_n^m$
然后让剩下的数错排，设错排的方案数为$D(i)$
递推公式$D[i]=(i-1)*D(i-1)*D(i-2)$
证明：
BZOJ4517: [Sdoi2016]排列计数(组合数+错位排列)
#include<cstdio>

#define int long long

using namespace std;

const int mod=1e9+;

const int MAXN=1e6+;

inline int read()

{

    char c=getchar();int x=,f=;

    while(c<''||c>''){if(c=='-')f=-;c=getchar();}

    while(c>=''&&c<=''){x=x*+c-'';c=getchar();}

    return x*f;

}

int fac[MAXN],D[MAXN],inv[MAXN];

void Pre()

{

    fac[]=fac[]=inv[]=inv[]=D[]=D[]=;

    for(int i=;i<=;i++) fac[i]=(i*fac[i-])%mod;

    for(int i=;i<=;i++) inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;

    for(int i=;i<=;i++) inv[i]=(inv[i]*inv[i-])%mod;

    for(int i=;i<=;i++) D[i]=((i-)*(D[i-]+D[i-]))%mod;

}

int Query(int N,int M)

{

    return fac[N] %mod * inv[ N-M  ] %mod * inv[ M ] %mod * D[N-M] %mod;

}

main()

{

    Pre();

    int T=read();

    while(T--)

    {

        int N=read(),M=read();

        printf("%lld\n",Query(N,M)%mod);

    }

    return ;

}

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