贝叶斯与卡尔曼滤波(1)--三大概率

贝叶斯滤波主要是通过概率统计的方法，主要是贝叶斯公式，对随机信号进行处理，减小不确定度

贝叶斯滤波处理的随机变量主要是一个随机过程。$x_1, x_2, x_3 ...$,互不独立

与之对应的就是一个确定过程，比如：*落体$v = g*t$，就是一个确定的过程

我们之前所学的大部分都是一些要求相对独立的数学，比如大数定律，中心极限定理，数理统计三大分布都需要独立同分布。

随机过程的难度相比于确定过程要高很多，最大的不同在于随机过程无法做随机试验了。

那么问题来了，随机试验是干什么的？随机试验最大的作用是为了给概率赋值的，比如抛硬币。为啥那么抛硬币正反的概率都是0.5呢？这就涉及到两种学说，主观概率学说以及大数定律学说（随机试验为基础）。

随机试验的条件：

在相同条件下，实验可以重复进行（这其实就是随机实验之间的独立性）
一次实验，结果不确定，所有可能的结果已知
实验之前，实验结果预先未知

在抛硬币这个实验中，实验可以多次重复进行，由大数定律，设$n$为试验次数，$\mu$为正面朝上的次数

那么根据大数定律，在$n$次独立的实验中，对于任意正数$\varepsilon$，有

\[\lim_{n \to \infty} P(|\frac{\mu}{n} - P_1| < \varepsilon) = 1 \]

当$n \to \infty$时， $\frac{\mu}{n}$依概率收敛于$P_1$.

经过大量的实验测试，这个概率在0.5上下波动，因此就定义为0.5

那么问题来了，对于一个随机过程来说，$x_1, x_2, x_3 ...$互不独立，那么如何给这个概率赋值呢？

举个例子，股票。相对股票做随机试验，那么必须会时光倒流，这显示是不可能的。除了股票，像分子的扩散，气温的变化都是无法做随机试验的。一般来说与时间有关的东西，都是无法做随机试验的。

随机过程，$x_1, x_2, x_3 ...$不独立，那么可以有以下推断

\[x_k = f(x_{k-1}) \]

\[P(x_k) = f(P(x_{k-1})) \]

这就体现了不独立性。那么有了这个信息，我们是否可以研究随机过程呢？答案也是不可以的，因为你只找到了他们的关系，但是必须要给随机过程的起点$P(x_1)$赋予初值，初值的选取是很重要的。

但是上面说过由于不独立性，我们无法通过大数定律赋予$P(x_1)$初值。

实际上，有的初值是可以做随机试验的额，比如随机游走$x_k = x_{k-1} +D$,$D $为位移

\[P(D=1) = 0.5 \]

\[P(D=-1) = 0.5 \]

初值$P(x_0 = 0) = 1$。

但是更多情况下，初值是不可以做随机试验的，只能使用主观概率，也就是猜一个概率出来。

以上面的例子来看，抛硬币正面朝上的概率0.5这个事情来看，两种说法，主观概率与大数定律学说都存在不严谨的地方。主观概率就不说了，肯定是不严谨了，但是大数定律看似严谨，实际上独立性这个属性是无法保证，同时也是无法证明这个独立性的。一般来说判断独立性都是通过经验的，因此大数定律也是存在一定的主观性的。有人会说，证明独立性只需要说明$P(A)=P(B)$就可以了，但是要证明这个等式，必须要对两个概率赋值，而要对概率赋值，必须使用大数定律，这就成了一个鸡生蛋还是蛋生鸡的问题。因此在无法做随机试验的情况下，使用主观概率也是比较科学的做法

这就是概率论的两大学派，支持主观概率的也叫贝叶斯学派，支持大数定律的也叫频率学派，目前以频率学派占主导地位。

回到主观概率上，随机过程$x_1, x_2, x_3 ...$互不独立，那么$P(x_1)$该如何给呢？对于一些比较简单的随机过程，比如抛硬币，我们可以给一个0.5，但是对于一些比较复杂的过程，比如股票，每个人看法不一，导致主观概率的选取不通用，那么不同的主观概率会导致不同的结果，这显示不是我们想要的。气温的变化，分子的扩散，本质上还是一个客观的过程，我们希望尽可能削弱主观的差异，那么应该怎么做呢，我们主要说贝叶斯滤波的方法。

我们需要引入外部观测，比如对于股票来说，每个人对涨跌的看法都是不一样，但是如果加上一个外部观测，比如得到消息，某公司老板卷钱跑路了，那么几乎所有人都会下调对该股票的收益预期。

引入外部观测，可以尽可能地减弱主观概率的影响

flowchart LR A[主观概率]-->B[外部观测] B-->C[相对客观的概率: 后验概率]

主观概率也叫做先验概率，主观概率和先验概率是存在一定区别的，但是我们可以把两者当作是一个东西，目前涉及的知识面，可以忽略两者的区别。

先验概率通过贝叶斯公式转化为后验概率。

先说一下符号

$X, Y$,大写为随机变量，$x, y$，小写为随机变量的取值，代表随机试验的一个可能的结果

离散变量：$P(X=x) = P_x$, 例如：

\[P(X=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k}}{k!} \]

连续变量：

\[P(X < x) = \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \]

条件概率：

离散

\[P(X=x|Y=y) = \frac{P(X=x, Y=y)}{P(Y=y)} \]

连续

\[P(X=x|Y=y) =\int_{-\infty}^{x} \frac{f(x, y)}{f(y)}dy \]

下面以一个温度例子来学习贝叶斯滤波

首先，给出先验概率分布：此处以一个离散变量表示，如果是连续变量，那么需要给出概率密度函数。

\[\begin{cases} P(T=10)=0.8\\ P(T=11)=0.2 \end{cases} \]

其次，给出温度计的测量温度$T_m$(m：measure,测量的意思)。问题来了，既然有了温度计的值了，还要贝叶斯干什么，还整这么复杂干什么？问题在于，任何传感器都是有误差的。温度计测量到的温度，不一定是准确的。假设$T_m = 10.3 $

最后，使用贝叶斯公式，求得后验概率分布

\[P(T=10|T_m=10.3)=\frac{P(T_m=10.3|T=10)P(T=10)}{P(T_m=10.3)} \]

\[P(T=11|T_m=10.3)=\frac{P(T_m=10.3|T=11)P(T=11)}{P(T_m=10.3)} \]

其中：

$P(T=10|T_m=10.3)$就是后验概率
$P(T_m=10.3)$就是先验概率
$P(T_m=10.3|T=10)$就是似然概率

似然概率：代表观测的准确度

$P(T_m=10.3|T=10)$当真实温度为10的时候，温度计测的温度为10.3的概率，代表传感器的精度。

问题来了，先验概率分布需要给出所有可能的分布，概率和必须为1。那么似然概率需不需要写成一个概率分布，概率和为1呢？答案是不需要的。$P(T_m=10.3|T=10)$与$P(T_m=10.3|T=11)$是对两个不同的真实值下的测量概率，可以说是两个随机试验，他们两个的概率没有任何关系。似然概率是用来衡量传感器的不确定性的，不确定性不受测量的真实值的影响的。比如传感器的精度是±1，那么测量一个冰水与沸水，传感器的误差都是±1，它是传感器本身的性质。

后验概率的概率和为1。

那么还有一个概率，$P(T_m=10.3)$是什么呢？

很多教材里面，直接说$P(T_m=10.3)$与T无关，所以$P(T=10|T_m=10.3) = \eta P(T_m=10.3|T=10)P(T=10)$

那么，为什么$P(T_m=10.3)$与T无关呢？很多人都会有一个困惑，$T_m = 10.3$是一个已经发生的事件，所以$P(T_m=10.3)=1$。这就是搞混了随机变量的取值与随机变量的概率，这两者是完全不同的概念。比如抛硬币，一次随机试验中发生了正面朝上，那么正面朝上的概率依然是0.5，本次结果为正面朝上并不影响正面朝上的概率。$T_m=10.3$只是一次随机试验的结果而已，不能只看到一次结果，就把这个事件发生的概率定为1。随机试验的结果不影响分布律。

根据全概率公式：

\[P(T_m=10.3)=P(T_m=10.3|T=10)P(T=10)+P(T_m=10.3|T=11)P(T=11) \]

可以看到，$P(T_m=10.3)$与T有关的，那为什么很多教材上说$P(T_m=10.3)$与T无关呢？因为**$P(T_m=10.3)$**与T的取值无关，与T的分布律是有关的。

在上面的公式中可以看到，$P(T_m=10.3|T=10)$是似然概率，$P(T=10)$是先验概率。而似然概率是传感器本身的性质，因此在某种长度上，也可以说**$P(T_m=10.3)$**与T的取值无关。

继续进行计算：

\[P(T=10|T_m=10.3)=\frac{P(T_m=10.3|T=10)P(T=10)}{P(T_m=10.3)}=\eta P(T_m=10.3|T=10)P(T=10) \]

\[P(T=11|T_m=10.3)=\frac{P(T_m=10.3|T=11)P(T=11)}{P(T_m=10.3)}=\eta P(T_m=10.3|T=11)P(T=11) \]

可以近似于：

\[后验概率=\eta×似然概率×先验概率 \]

那么$\eta$怎么计算呢？其实很简单，因为所有的后验概率相加为1，所以

\[\sum 后验概率 = \eta \sum 似然概率 × 先验概率 \]

\[\eta = \frac{1}{ \sum 似然概率 × 先验概率} \]

为什么叫似然概率呢？

似然：likelihood，可能性。源于最大似然估计。他表示那个原因最有可能导致了结果。

比如A班有99男1女，B班有1男99女。那么随机数抽取一个班，再随机抽一个人进行观测，结果是女，那么最有可能是从B班抽出来的。

\[P(状态|观测)=\eta P(观测|状态)P(状态) \]

状态为因，观测为果。后验概率为由果推因，似然概率是由因推果。

如果两个随机变量存在一定的函数关系，他们是不是一定不独立?
答：不一定。

等价命题：如果两个随机变量相互独立，他们是不是一定没有函数关系？
答：不一定。

独立未必没有函数关系，虽然听起来匪夷所思，但这是事实。

举个例子，一个必然事件，$Y = X+1$，$P(X=1)=1$,$P(Y=2)=1$,$P(X=1, Y=2)=1$,两者有函数关系，但是他们是独立的。

这个例子看起来没有太多说服力，那么说一个非必然事件的例子

设有一个正态概率分布$N(\mu, \sigma^2)$，$(\mu, \sigma)$未知，从此分布中，抽取$n$个独立的样本，$X_1, X_2,X_3,...,X_n$独立同分布，则下面两个随机变量相互独立。

\[\overline{X}=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n} \]

\[S^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \overline X)^2 \]

均值和方差相互独立只有再正态分布中才有。显然，他们两个是存在函数关系的。

关于样本均值与样本方差的独立性证明，可以参考这个视频

秒客网

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