黄金分割法(一维搜索算法)

一维搜索算法之黄金分割法

• 1、概述
• 2、黄金分割法
• 3、修改后的黄金分割算法
• 4、编程实现修改后的黄金分割算法

1、概述

  黄金分割法是一种区间收缩方法。

,通过比较函数f(x)在这两点的函数值或者导数值等，来决定去掉一部分区间[a,]或者[,b],从而使搜索区间长度变小，如此迭代，直至区间收缩为一点为止，或区间长度小于某给定的精度为止。

，通过比较这两点的函数值，就可以将搜索区间缩小。比如说，如果f()<f()，则选取[]=[a,]，如果f()> f()，则选取[]=[,b]，如果f()=f( )，则选取[]=[]，这样就得到f(x)的更小的搜索区间[]，然后根据这一方法再进行划分,得到一系列搜索区间满足

,当时，可以将f(x)的最小值点近似地取为

  单峰函数与搜索区间的定义如下：

如何选取x1和x2才能使得算法的效率更高？

这里推导过程不在详细讨论，直接给出满足对称取点、等比收缩和单点计算三个原则的分点。

或者

2、黄金分割法

  算法描述如下：

这个算法非常理想，整个迭代过程中。除最初计算分点时使用过一次乘法外，后边的分点全部都由加减法完成，并且每次迭代只需计算一个分点的函数值。但是，在实际应用中，该方法存在一定的缺陷。这种缺陷主要来源于无理数的取值。这里我们只取了小数点后三位数。因而有一定误差，所以在迭代过程中，经过多次累计，误差就会很大，从而导致最终选取的两点并不一定是我们所期望的那两点，事实上，常常发生x2小于x1的情形。
  为避免这种情况的出现，我们也可以通过将无理数小数点后面的位数提高来避免算法的这一缺陷。不过这样做的效果未必很好。因为我们不知道在算法中到底要经过多少次迭代，当迭代次数很大时，这种做法依然是不能奏效的。因此，我们在程序中每次计算分点时不得不根据算法原理，使用一次乘法，即第二个分点不用加减法产生，而直接用乘法计算得出。由此即可避免累计误差所带来的缺陷。我们仍假设f(x)是区间[a，b]上的单峰函数。修改后的黄金分割法的计算框图如下图所示。

3、修改后的黄金分割算法

修改后的黄金分割算法如下：

4、编程实现修改后的黄金分割算法

用黄金分割法求函数在区间上的最小值点，取。

import java.math.BigDecimal;

/**
 * 黄金分割法测试
 */
public class GoldenCut {
    public static final BigDecimal C=new BigDecimal("0.01");

    public static  BigDecimal end=null;

    /**
     *x^3-12x-11
     * @param x 输入参数x
     * @return x^3-12x-11
     */
    public static BigDecimal ComputeFx(BigDecimal x){
        return x.pow(3).subtract(new BigDecimal("12").multiply(x)).subtract(new BigDecimal("11"))
                .setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }

    /**
     * a+0.382*(b-a)
     * @param a
     * @param b
     * @return a+0.382*(b-a)
     */
    public static BigDecimal Compute382(BigDecimal a,BigDecimal b){
        return a.add(new BigDecimal("0.382").multiply(b.subtract(a)))
                .setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }

    /**
     * a+0.618(b-a)
     * @param a
     * @param b
     * @return
     */
    public static BigDecimal Compute618(BigDecimal a,BigDecimal b){
        return a.add(new BigDecimal("0.618").multiply(b.subtract(a)))
                    .setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }
    /**
     * a+b-x1
     * @param a
     * @param b
     * @param x1
     * @return
     */
    public static BigDecimal Subtractabx1(BigDecimal a,BigDecimal b,BigDecimal x1){
        return a.add(b).subtract(x1)
                .setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }
    //判断是否满足精度 b-a<C？
    public static boolean OK(BigDecimal a,BigDecimal b){
        return b.subtract(a).compareTo(C) < 0;
    }
    //输出最优解
    public static BigDecimal Success(BigDecimal a, BigDecimal b){
        return (a.add(b)).divide(new BigDecimal("2"))
                .setScale(10,BigDecimal.ROUND_HALF_EVEN);
    }
    //修改后的黄金分割法
    public static void goldenTest1(BigDecimal a,BigDecimal b){
        System.out.println("初始化");
        BigDecimal x1=Compute382(a,b);
        BigDecimal x2=Subtractabx1(a,b,x1);
        BigDecimal f1=ComputeFx(x1);
        BigDecimal f2=ComputeFx(x2);
        System.out.println("x1="+x1);
        System.out.println("x2="+x2);
        System.out.println("f1="+f1);
        System.out.println("f2="+f2);
        System.out.println("迭代区间如下:");
        int count=0;    //迭代次数
        while(!OK(a,b)){//只要不满足精度就一直迭代
            System.out.println("["+a+"\t,\t"+b+"]");
            count++;    //迭代次数+1
            if(f1.compareTo(f2)==1){//f1>f2
                a=x1;
                if(OK(a,b)){     //精度判断
                    end = Success(a, b);
                    break;
                }else{
                    f1=f2;
                    x1=x2;
                    x2=Compute618(a,b);
                    f2=ComputeFx(x2);
                }
            }else{
                b=x2;
                if(OK(a,b)){
                    end = Success(a, b);
                    break;
                }else{
                    f2=f1;
                    x2=x1;
                    x1=Compute382(a,b);
                    f1=ComputeFx(x1);
                }
            }
        }
        System.out.println("迭代结束,迭代次数"+count);
    }
    public static void main(String[] args) {
        BigDecimal a=new BigDecimal("0");
        BigDecimal b=new BigDecimal("10");

        goldenTest1(a,b);
        System.out.println("最优解为x*="+end);
        System.out.println("f(x*)="+ComputeFx(end));
    }
}

由运行结果可以看到，迭代次数15次，最优解为。迭代区间如下：

可以证明，黄金分割法是线性收敛的。