高等数学（第七版）同济大学 习题12-2
1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性： \begin{aligned}&1. \ 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：&\end{aligned} 1. 用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性：
( 1 ) 1 + 1 3 + 1 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 ( 2 n − 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 2 ) 1 + 1 + 2 1 + 2 2 + 1 + 3 1 + 3 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 + n 1 + n 2 + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 3 ) 1 2 ⋅ 5 + 1 3 ⋅ 6 + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 ( n + 1 ) ( n + 4 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 4 ) s i n π 2 + s i n π 2 2 + s i n π 2 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + s i n π 2 n + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 5 ) ∑ n = 1 ∞ 1 1 + a n ( a > 0 ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{(2n-1)}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (2)\ \ 1+\frac{1+2}{1+2^2}+\frac{1+3}{1+3^2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1+n}{1+n^2}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (3)\ \ \frac{1}{2\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot 6}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{(n+1)(n+4)}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (4)\ \ sin\ \frac{\pi}{2}+sin\ \frac{\pi}{2^2}+sin\ \frac{\pi}{2^3}+\cdot\cdot\cdot+sin\ \frac{\pi}{2^n}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (5)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+a^n}\ (a \gt 0). & \end{aligned} (1) 1+31+51+⋅⋅⋅+(2n−1)1+⋅⋅⋅； (2) 1+1+221+2+1+321+3+⋅⋅⋅+1+n21+n+⋅⋅⋅； (3) 2⋅51+3⋅61+⋅⋅⋅+(n+1)(n+4)1+⋅⋅⋅； (4) sin 2π+sin 22π+sin 23π+⋅⋅⋅+sin 2nπ+⋅⋅⋅； (5) n=1∑∞1+an1 (a>0).
解：
( 1 ) 因为 lim n → ∞ 1 2 n − 1 1 n = 1 2 ，而 ∑ n = 1 ∞ 1 n 发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。 ( 2 ) u n = 1 + n 1 + n 2 > 1 + n n + n 2 = 1 n ，而 ∑ n = 1 ∞ 1 n 发散，根据比较审敛法可知，该级数发散。 ( 3 ) 因为 lim n → ∞ 1 ( n + 1 ) ( n + 4 ) 1 n 2 = 1 ，而 ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。 ( 4 ) 因为 lim n → ∞ s i n π 2 n 1 2 n = lim n → ∞ π ⋅ s i n π 2 n π 2 n = π ，而 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n 收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。 ( 5 ) 当 0 < a ≤ 1 时， 1 1 + a n ≥ 1 2 ，一般项不趋于零，所以 ∑ n = 1 ∞ 1 1 + a n 发散， 当 a > 1 时， 1 1 + a n < 1 a n ，而 ∑ n = 1 ∞ 1 a n 收敛，根据比较审敛法可知该级数收敛。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{2n-1}}{\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。\\\\ &\ \ (2)\ u_n=\frac{1+n}{1+n^2} \gt \frac{1+n}{n+n^2}=\frac{1}{n}，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散，根据比较审敛法可知，该级数发散。\\\\ &\ \ (3)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{(n+1)(n+4)}}{\frac{1}{n^2}}=1，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。\\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{sin\ \frac{\pi}{2^n}}{\frac{1}{2^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\pi \cdot \frac{sin\ \frac{\pi}{2^n}}{\frac{\pi}{2^n}}=\pi，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。\\\\ &\ \ (5)\ 当0 \lt a \le 1时，\frac{1}{1+a^n} \ge \frac{1}{2}，一般项不趋于零，所以\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+a^n}发散，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当a \gt 1时，\frac{1}{1+a^n} \lt \frac{1}{a^n}，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a^n}收敛，根据比较审敛法可知该级数收敛。 & \end{aligned} (1) 因为n→∞limn12n−11=21，而n=1∑∞n1发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。 (2) un=1+n21+n>n+n21+n=n1，而n=1∑∞n1发散，根据比较审敛法可知，该级数发散。 (3) 因为n→∞limn21(n+1)(n+4)1=1，而n=1∑∞n21收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。 (4) 因为n→∞lim2n1sin 2nπ=n→∞limπ⋅2nπsin 2nπ=π，而n=1∑∞2n1收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数收敛。 (5) 当0<a≤1时，1+an1≥21，一般项不趋于零，所以n=1∑∞1+an1发散， 当a>1时，1+an1<an1，而n=1∑∞an1收敛，根据比较审敛法可知该级数收敛。
2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性： \begin{aligned}&2. \ 用比值审敛法判定下列级数的收敛性：&\end{aligned} 2. 用比值审敛法判定下列级数的收敛性：
( 1 ) 3 1 ⋅ 2 + 3 2 2 ⋅ 2 2 + 3 3 3 ⋅ 2 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 3 n n ⋅ 2 n + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 2 ) ∑ n = 1 ∞ n 2 3 n ； ( 3 ) ∑ n = 1 ∞ 2 n ⋅ n ! n n ； ( 4 ) ∑ n = 1 ∞ n t a n π 2 n + 1 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \frac{3}{1\cdot 2}+\frac{3^2}{2\cdot 2^2}+\frac{3^3}{3\cdot 2^3}+\cdot\cdot\cdot+\frac{3^n}{n\cdot 2^n}+\cdot\cdot\cdot；\ \ \ \ (2)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}；\\\\ &\ \ (3)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n\cdot n!}{n^n}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}ntan\ \frac{\pi}{2^{n+1}}. & \end{aligned} (1) 1⋅23+2⋅2232+3⋅2333+⋅⋅⋅+n⋅2n3n+⋅⋅⋅； (2) n=1∑∞3nn2； (3) n=1∑∞nn2n⋅n!； (4) n=1∑∞ntan 2n+1π.
解：
( 1 ) 因为 lim n → ∞ u n + 1 u n = lim n → ∞ 3 n + 1 ( n + 1 ) 2 n + 1 3 n n 2 n = lim n → ∞ 3 2 ⋅ n n + 1 = 3 2 > 1 ，所以该级数发散。 ( 2 ) 因为 lim n → ∞ u n + 1 u n = lim n → ∞ ( n + 1 ) 2 3 n + 1 n 2 3 n = lim n → ∞ 1 3 ⋅ ( n + 1 ) 2 n 2 = 1 3 < 1 ，所以该级数收敛。 ( 3 ) 因为 lim n → ∞ u n + 1 u n = lim n → ∞ 2 n + 1 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1 2 n n ! n n = lim n → ∞ 2 ( n 1 + n ) 2 = 2 e < 1 ，所以该级数收敛。 ( 4 ) 因为 lim n → ∞ u n + 1 u n = lim n → ∞ ( n + 1 ) t a n π 2 n + 2 n t a n π 2 n + 1 = lim n → ∞ n + 1 n ⋅ π 2 n + 2 π 2 n + 1 = lim n → ∞ n + 1 n ⋅ 1 2 = 1 2 < 1 ，所以该级数收敛。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{3^{n+1}}{(n+1)2^{n+1}}}{\frac{3^n}{n2^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3}{2}\cdot \frac{n}{n+1}=\frac{3}{2} \gt 1，所以该级数发散。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{(n+1)^2}{3^{n+1}}}{\frac{n^2}{3^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{3}\cdot \frac{(n+1)^2}{n^2}=\frac{1}{3} \lt 1，所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (3)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{2^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{2^nn!}{n^n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}2\left(\frac{n}{1+n}\right)^2=\frac{2}{e} \lt 1，所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(n+1)tan\ \frac{\pi}{2^{n+2}}}{ntan\ \frac{\pi}{2^{n+1}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}\cdot \frac{\frac{\pi}{2^{n+2}}}{\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \lt 1，所以该级数收敛。 & \end{aligned} (1) 因为n→∞limunun+1=n→∞limn2n3n(n+1)2n+13n+1=n→∞lim23⋅n+1n=23>1，所以该级数发散。 (2) 因为n→∞limunun+1=n→∞lim3nn23n+1(n+1)2=n→∞lim31⋅n2(n+1)2=31<1，所以该级数收敛。 (3) 因为n→∞limunun+1=n→∞limnn2nn!(n+1)n+12n+1(n+1)!=n→∞lim2(1+nn)2=e2<1，所以该级数收敛。 (4) 因为n→∞limunun+1=n→∞limntan 2n+1π(n+1)tan 2n+2π=n→∞limnn+1⋅2n+1π2n+2π=n→∞limnn+1⋅21=21<1，所以该级数收敛。
3. 用根值审敛法判定下列级数的收敛性： \begin{aligned}&3. \ 用根值审敛法判定下列级数的收敛性：&\end{aligned} 3. 用根值审敛法判定下列级数的收敛性：
( 1 ) ∑ n = 1 ∞ ( n 2 n + 1 ) n ； ( 2 ) ∑ n = 1 ∞ 1 [ l n ( n + 1 ) ] n ； ( 3 ) ∑ n = 1 ∞ ( n 3 n − 1 ) 2 n − 1 ； ( 4 ) ∑ n = 1 ∞ ( b a n ) n ，其中 a n → a ( n → ∞ ) ， a n ， b ， a 均为正数 . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{[ln(n+1)]^n}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{2n-1}；\\\\ &\ \ (4)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{b}{a_n}\right)^n，其中a_n \rightarrow a\ (n \rightarrow \infty)，a_n，b，a均为正数. & \end{aligned} (1) n=1∑∞(2n+1n)n； (2) n=1∑∞[ln(n+1)]n1； (3) n=1∑∞(3n−1n)2n−1； (4) n=1∑∞(anb)n，其中an→a (n→∞)，an，b，a均为正数.
解：
( 1 ) 因为 lim n → ∞ u n n = lim n → ∞ n 2 n + 1 = 1 2 < 1 ，所以该级数收敛。 ( 2 ) 因为 lim n → ∞ u n n = lim n → ∞ 1 l n ( n + 1 ) = 0 < 1 ，所以该级数收敛。 ( 3 ) 因为 lim n → ∞ u n n = lim n → ∞ ( n 3 n − 1 ) 2 n − 1 n = ( 1 3 ) 2 < 1 ，所以该级数收敛。 ( 4 ) 因为 lim n → ∞ u n n = lim n → ∞ b a n = b a ，当 b < a 时，因为 lim n → ∞ u n n < 1 ，所以该级数收敛， 当 b > a 时，因为 lim n → ∞ u n n > 1 ，所以该级数发散，当 b = a 时，级数收敛性不确定。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2} \lt 1，所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{ln(n+1)}=0 \lt 1，所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (3)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{3n-1}\right)^{\frac{2n-1}{n}}=\left(\frac{1}{3}\right)^2 \lt 1，所以该级数收敛。\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{b}{a^n}=\frac{b}{a}，当b \lt a时，因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n} \lt 1，所以该级数收敛，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当b \gt a时，因为\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n} \gt 1，所以该级数发散，当b=a时，级数收敛性不确定。 & \end{aligned} (1) 因为n→∞limnun=n→∞lim2n+1n=21<1，所以该级数收敛。 (2) 因为n→∞limnun=n→∞limln(n+1)1=0<1，所以该级数收敛。 (3) 因为n→∞limnun=n→∞lim(3n−1n)n2n−1=(31)2<1，所以该级数收敛。 (4) 因为n→∞limnun=n→∞limanb=ab，当b<a时，因为n→∞limnun<1，所以该级数收敛， 当b>a时，因为n→∞limnun>1，所以该级数发散，当b=a时，级数收敛性不确定。
4. 判定下列级数的收敛性： \begin{aligned}&4. \ 判定下列级数的收敛性：&\end{aligned} 4. 判定下列级数的收敛性：
( 1 ) 3 4 + 2 ( 3 4 ) 2 + 3 ( 3 4 ) 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n ( 3 4 ) n + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 2 ) 1 4 1 ! + 2 4 2 ! + 3 4 3 ! + ⋅ ⋅ ⋅ + n 4 n ! + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 3 ) ∑ n = 1 ∞ n + 1 n ( n + 2 ) ； ( 4 ) ∑ n = 1 ∞ 2 n s i n π 3 n ； ( 5 ) 2 + 3 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + n + 1 n + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 6 ) 1 a + b + 1 2 a + b + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 n a + b + ⋅ ⋅ ⋅ ( a > 0 ， b > 0 ) . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \frac{3}{4}+2\left(\frac{3}{4}\right)^2+3\left(\frac{3}{4}\right)^3+\cdot\cdot\cdot+n\left(\frac{3}{4}\right)^n+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (2)\ \ \frac{1^4}{1!}+\frac{2^4}{2!}+\frac{3^4}{3!}+\cdot\cdot\cdot+\frac{n^4}{n!}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (3)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{n(n+2)}；\\\\ &\ \ (4)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}2^nsin\ \frac{\pi}{3^n}；\\\\ &\ \ (5)\ \ \sqrt{2}+\sqrt{\frac{3}{2}}+\cdot\cdot\cdot+\sqrt{\frac{n+1}{n}}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (6)\ \ \frac{1}{a+b}+\frac{1}{2a+b}+\cdot\cdot\cdot+\frac{1}{na+b}+\cdot\cdot\cdot\ (a \gt 0，b \gt 0). & \end{aligned} (1) 43+2(43)2+3(43)3+⋅⋅⋅+n(43)n+⋅⋅⋅； (2) 1!14+2!24+3!34+⋅⋅⋅+n!n4+⋅⋅⋅； (3) n=1∑∞n(n+2)n+1； (4) n=1∑∞2nsin 3nπ； (5) 2+23+⋅⋅⋅+nn+1+⋅⋅⋅； (6) a+b1+2a+b1+⋅⋅⋅+na+b1+⋅⋅⋅ (a>0，b>0).
解：
( 1 ) lim n → ∞ u n + 1 n = lim n → ∞ n + 1 n ⋅ 3 4 = 3 4 < 1 ，根据比值审敛法可知，该级数收敛。 ( 2 ) lim n → ∞ u n + 1 n = lim n → ∞ ( n + 1 n ) 4 ⋅ 1 n + 1 = 0 < 1 ，根据比值审敛法可知，该级数收敛。 ( 3 ) lim n → ∞ n + 1 n ( n + 2 ) 1 n = 1 ，而级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n 发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。 ( 4 ) 因为 lim n → ∞ 2 n s i n π 3 n ( 2 3 ) n = lim n → ∞ π ⋅ s i n π 3 n π 3 n = π ，而几何级数 ∑ n = 1 ∞ ( 2 3 ) n 收敛，根据极限形式的比较审敛法可知， 该级数收敛。 ( 5 ) 因为 lim n → ∞ u n = lim n → ∞ ( n + 1 n ) 1 2 = 1 ≠ 0 ，所以该级数发散。 ( 6 ) 因为 lim n → ∞ 1 n a + b 1 n = lim n → ∞ 1 a + b n = 1 a ，而级数 ∑ n = 1 ∞ 1 n 发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n+1}{n}\cdot \frac{3}{4}=\frac{3}{4} \lt 1，根据比值审敛法可知，该级数收敛。\\\\ &\ \ (2)\ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^4\cdot \frac{1}{n+1}=0 \lt 1，根据比值审敛法可知，该级数收敛。\\\\ &\ \ (3)\ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{n+1}{n(n+2)}}{\frac{1}{n}}=1，而级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。\\\\ &\ \ (4)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2^nsin\ \frac{\pi}{3^n}}{\left(\frac{2}{3}\right)^n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\pi \cdot \frac{sin\ \frac{\pi}{3^n}}{\frac{\pi}{3^n}}=\pi，而几何级数\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n收敛，根据极限形式的比较审敛法可知，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 该级数收敛。\\\\ &\ \ (5)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{\frac{1}{2}}=1\neq 0，所以该级数发散。\\\\ &\ \ (6)\ 因为\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{na+b}}{\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{a+\frac{b}{n}}=\frac{1}{a}，而级数\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。 & \end{aligned} (1) n→∞limnun+1=n→∞limnn+1⋅43=43<1，根据比值审敛法可知，该级数收敛。 (2) n→∞limnun+1=n→∞lim(nn+1)4⋅n+11=0<1，根据比值审敛法可知，该级数收敛。 (3) n→∞limn1n(n+2)n+1=1，而级数n=1∑∞n1发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。 (4) 因为n→∞lim(32)n2nsin 3nπ=n→∞limπ⋅3nπsin 3nπ=π，而几何级数n=1∑∞(32)n收敛，根据极限形式的比较审敛法可知， 该级数收敛。 (5) 因为n→∞limun=n→∞lim(nn+1)21=1=0，所以该级数发散。 (6) 因为n→∞limn1na+b1=n→∞lima+nb1=a1，而级数n=1∑∞n1发散，根据极限形式的比较审敛法可知，该级数发散。
5. 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ \begin{aligned}&5. \ 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？&\end{aligned} 5. 判定下列级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
( 1 ) 1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) n − 1 n + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 2 ) ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n 3 n − 1 ； ( 3 ) 1 3 ⋅ 1 2 − 1 3 ⋅ 1 2 2 + 1 3 ⋅ 1 2 3 − 1 3 ⋅ 1 2 4 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) n − 1 1 3 ⋅ 1 2 n + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 4 ) 1 l n 2 − 1 l n 3 + 1 l n 4 − 1 l n 5 + ⋅ ⋅ ⋅ + ( − 1 ) n − 1 1 l n ( n + 1 ) + ⋅ ⋅ ⋅ ； ( 5 ) ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 2 n 2 n ! . \begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdot\cdot\cdot+\frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (2)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{n}{3^{n-1}}；\\\\ &\ \ (3)\ \ \frac{1}{3}\cdot\ \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^3}-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2^4}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n-1}\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2^n}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (4)\ \ \frac{1}{ln\ 2}-\frac{1}{ln\ 3}+\frac{1}{ln\ 4}-\frac{1}{ln\ 5}+\cdot\cdot\cdot+(-1)^{n-1}\frac{1}{ln(n+1)}+\cdot\cdot\cdot；\\\\ &\ \ (5)\ \ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n^2}}{n!}. & \end{aligned} (1) 1−21+31−41+⋅⋅⋅+n(−1)n−1+⋅⋅⋅； (2) n=1∑∞(−1)n−13n−1n； (3) 31⋅ 21−31⋅221+31⋅231−31⋅241+⋅⋅⋅+(−1)n−131⋅2n1+⋅⋅⋅； (4) ln 21−ln 31+ln 41−ln 51+⋅⋅⋅+(−1)n−1ln(n+1)1+⋅⋅⋅； (5) n=1∑∞(−1)n+1n!2n2.
解：
( 1 ) u n = ( − 1 ) n − 1 n 1 2 ， ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ = ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 2 是发散的，因为 ∑ n = 1 ∞ u n 是交错级数，满足 ∣ u n ∣ > ∣ u n + 1 ∣ 且 lim n → ∞ u n = 0 ， 根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛，是条件收敛。 ( 2 ) 因为 lim n → ∞ ∣ u n + 1 u n ∣ = lim n → ∞ 1 3 n + 1 n = 1 3 < 1 ，根据比值审敛法可知，级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ 收敛，所以该级数是绝对收敛。 ( 3 ) u n = ( − 1 ) n − 1 3 ⋅ 2 n ，因为 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ = ∑ n = 1 ∞ 1 3 ⋅ 2 n 是等比级数，公比 q = 1 2 ( ∣ q ∣ < 1 ) ，所以该级数收敛，是绝对收敛。 ( 4 ) u n = ( − 1 ) n − 1 l n ( n + 1 ) ， ∣ u n ∣ = 1 l n ( n + 1 ) > 1 n + 1 ，而 ∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 是发散的，根据比较审敛法可知，级数 ∑ n = 1 ∞ ∣ u n ∣ 发散， 又因为 ∑ n = 1 ∞ u n 是交错级数，满足 ∣ u n ∣ > ∣ u n + 1 ∣ 且 lim n → ∞ u n = 0 ，根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛， 是条件收敛。 ( 5 ) u n = ( − 1 ) n + 1 2 n 2 n ! ， ∣ u n ∣ = 2 n ⋅ 2 n ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 n 1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n ，因为 2 n > k ( k = 1 ， 2 ， ⋅ ⋅ ⋅ ， n ) ，所以 ∣ u n ∣ > 1 ， 原级数的一般项 u n 当 n → ∞ 时不趋于零，该级数是发散的。 \begin{aligned} &\ \ (1)\ u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{n^{\frac{1}{2}}}，\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}是发散的，因为\sum_{n=1}^{\infty}u_n是交错级数，满足|u_n| \gt |u_{n+1}|且\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛，是条件收敛。\\\\ &\ \ (2)\ 因为\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{3}\frac{n+1}{n}=\frac{1}{3} \lt 1，根据比值审敛法可知，级数\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|收敛，所以该级数是绝对收敛。\\\\ &\ \ (3)\ u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{3\cdot 2^n}，因为\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3\cdot 2^n}是等比级数，公比q=\frac{1}{2}\ (|q| \lt 1)，所以该级数收敛，是绝对收敛。\\\\ &\ \ (4)\ u_n=\frac{(-1)^{n-1}}{ln(n+1)}，|u_n|=\frac{1}{ln(n+1)} \gt \frac{1}{n+1}，而\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}是发散的，根据比较审敛法可知，级数\sum_{n=1}^{\infty}|u_n|发散，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 又因为\sum_{n=1}^{\infty}u_n是交错级数，满足|u_n| \gt |u_{n+1}|且\lim_{n \rightarrow \infty}u_n=0，根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 是条件收敛。\\\\ &\ \ (5)\ u_n=\frac{(-1)^{n+1}2^{n^2}}{n!}，|u_n|=\frac{2^n\cdot 2^n\cdot\ \cdot\cdot\cdot\ \cdot 2^n}{1\cdot 2\cdot\ \cdot\cdot\cdot\ \cdot n}，因为2^n \gt k\ (k=1，2，\cdot\cdot\cdot，n)，所以|u_n| \gt 1，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 原级数的一般项u_n当n \rightarrow \infty时不趋于零，该级数是发散的。 & \end{aligned} (1) un=n21(−1)n−1，n=1∑∞∣un∣=n=1∑∞n211是发散的，因为n=1∑∞un是交错级数，满足∣un∣>∣un+1∣且n→∞limun=0， 根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛，是条件收敛。 (2) 因为n→∞lim unun+1 =n→∞lim31nn+1=31<1，根据比值审敛法可知，级数n=1∑∞∣un∣收敛，所以该级数是绝对收敛。 (3) un=3⋅2n(−1)n−1，因为n=1∑∞∣un∣=n=1∑∞3⋅2n1是等比级数，公比q=21 (∣q∣<1)，所以该级数收敛，是绝对收敛。 (4) un=ln(n+1)(−1)n−1，∣un∣=ln(n+1)1>n+11，而n=1∑∞n+11是发散的，根据比较审敛法可知，级数n=1∑∞∣un∣发散， 又因为n=1∑∞un是交错级数，满足∣un∣>∣un+1∣且n→∞limun=0，根据莱布尼茨定理可知，该级数收敛， 是条件收敛。 (5) un=n!(−1)n+12n2，∣un∣=1⋅2⋅ ⋅⋅⋅ ⋅n2n⋅2n⋅ ⋅⋅⋅ ⋅2n，因为2n>k (k=1，2，⋅⋅⋅，n)，所以∣un∣>1， 原级数的一般项un当n→∞时不趋于零，该级数是发散的。