扰动观测器(DO)稳定性分析（1）

1.被控对象

考虑以下具有可加性有界扰动的连续时间非线性系统：

     （1）

其中，,,分别表示状态、被控输入、外部扰动。

假设1：扰动及其微分是有界的，即

     （2）

其中，是已知常数。扰动矩阵是有界的，即。

假设2：记。函数且,是Lipschitz 连续的。并满足

     （3）

其中，是Lipschitz常数。

假设3：矩阵是列满秩的。

2.扰动观测器（DO）

扰动阻碍了系统（即被控对象）的稳定性。一个很自然的思想是：设计一个扰动观测器来估计扰动的值，并主动补偿扰动。以下扰动观测器旨在获取（或估计）的值。

                                                                                                            （4）

其中，是扰动估计值；是辅助变量；是非线性函数，且是观测器增益。

初始值设置为，即。

定义扰动估计误差。结合系统表达式，得到扰动估计动态误差：

          （5）

引理1：通过选择合适的观测器增益，若使得动态误差系统满足

      （6）

是渐近稳定的。那么，扰动估计动态误差系统是 locally input-to-state stable。

从引理1中，可以知道在“input-to-state stablity“的限定下，保证了是有界的。

引理2：对于某些特定，若存在,使得是不依赖于状态的（即是一个不依赖于状态的常矩阵），现把该常矩阵用表示，并且是Hurwitz的。那么，就有

             （7）

                                 （8）     

其中，；；是特定的Hermitian矩阵，有李雅普诺夫函数确定。

证明：通过考虑初始状态，，式（5），即的解为：

进一步，

。

由于，且，（参考论文中的引理8），则有

得到式（7）。

更进一步，有式（4），即

可以得到

，且

解得，

由，有

得到式（8）。

3.其他

工程中的各种干扰可以用下列外源系统来描述：

            

其中，是范数有界扰动；是适当维数矩阵.

扰动观测器（DO）如下：

                                                            

 扰动估计误差系统：

其中，辅助变量估计误差。定义,则有扰动估计误差为

其中，的上界可以由的上界决定。

参考文献

H. Xie, L. Dai, Y. Lu and Y. Xia, "Disturbance Rejection MPC Framework for Input-Affine Nonlinear Systems," in IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 67, no. 12, pp. 6595-6610, Dec. 2022, doi: 10.1109/TAC.2021.3133376.

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