7 法线
梯度、切线和法线
为了书写方便，记 x i = x 1 , x 2 , . . . , x n x_i=x_1,x_2,...,x_n xi=x1,x2,...,xn， ∂ f ∂ x i = ∂ f ∂ x 1 , ∂ f ∂ x 2 , ⋯ ∂ f ∂ x n \frac{\partial f}{\partial x_i}=\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots\frac{\partial f}{\partial x_n} ∂xi∂f=∂x1∂f,∂x2∂f,⋯∂xn∂f。
对于函数 f ( x i ) = 0 f(x_i)=0 f(xi)=0而言，其梯度为 ( ∂ f ∂ x i ) (\frac{\partial f}{\partial x_i}) (∂xi∂f)。而 x n + 1 = f ( x i ) x_{n+1}=f(x_i) xn+1=f(xi)可以写为 F ( x i , x n + 1 ) = f ( x i ) − x n + 1 = 0 F(x_i,x_{n+1})=f(x_i)-x_{n+1}=0 F(xi,xn+1)=f(xi)−xn+1=0，其梯度为
( ∂ F ∂ f ∂ f ∂ x i , − ∂ F ∂ x n + 1 ) = ∂ F ∂ f ( ∂ f ∂ x i , − ∂ f ∂ F ∂ F ∂ x n + 1 ) (\frac{\partial F}{\partial f}\frac{\partial f}{\partial x_i}, -\frac{\partial F}{\partial x_{n+1}})=\frac{\partial F}{\partial f}(\frac{\partial f}{\partial x_i},-\frac{\partial f}{\partial F} \frac{\partial F}{\partial x_{n+1}}) (∂f∂F∂xi∂f,−∂xn+1∂F)=∂f∂F(∂xi∂f,−∂F∂f∂xn+1∂F)
如果只关注方向的话，那么矢量的数乘是没有意义的，所以可以把括号外的值消去；另外， f f f和 x n + 1 x_{n+1} xn+1是相同的值，所以 x n + 1 = f ( x i ) x_{n+1}=f(x_i) xn+1=f(xi)的法向量可以写为
( ∂ f ∂ x i , − 1 ) (\frac{\partial f}{\partial x_i},-1) (∂xi∂f,−1)
用几何的观点来看待 n n n变量函数 x n + 1 = f ( x i ) x_{n+1}=f(x_i) xn+1=f(xi)，实际上是 n + 1 n+1 n+1维空间中嵌入的一个n维曲面。 ∇ f \nabla f ∇f代表的是这个 n + 1 n+1 n+1维超曲面在以第 n + 1 n+1 n+1个轴方向进行投影得到的 n n n维曲面的法向量。 ( ∂ f ∂ x i , 1 ) (\frac{\partial f}{\partial x_i},1) (∂xi∂f,1)表示这个n维曲面的法向量。
相应地最大方向导数的方向即为梯度的归一化
( ∂ f ∂ x i ) ∑ j = 0 n ( ∂ f ∂ x j ) 2 \frac{(\frac{\partial f}{\partial x_i})}{\sqrt{\sum^n_{j=0}(\frac{\partial f}{\partial x_j})^2}} ∑j=0n(∂xj∂f)2(∂xi∂f)
由此得到的方向导数为
∑ j = 0 n ( ∂ f ∂ x j ) 2 \sqrt{\sum^n_{j=0}(\frac{\partial f}{\partial x_j})^2} j=0∑n(∂xj∂f)2
相应地，空间中根据曲面的方向导数得到一个切向量
( ( ∂ f ∂ x i ) ∑ j = 0 n ( ∂ f ∂ x j ) 2 , ∑ j = 0 n ( ∂ f ∂ x j ) 2 ) \bigg(\frac{(\frac{\partial f}{\partial x_i})}{\sqrt{\sum^n_{j=0}(\frac{\partial f}{\partial x_j})^2}} ,\sqrt{\sum^n_{j=0}(\frac{\partial f}{\partial x_j})^2} \bigg) (∑j=0n(∂xj∂f)2(∂xi∂f),j=0∑n(∂xj∂f)2)
切、法相乘，结果为0。但是，对于任何一个不小于3维的向量而言，总是有无穷多个与之相乘为0且方向不同的向量。
例如，随机抽选出一个序号不大于 n n n的第 j j j坐标轴，沿该坐标轴方向做其切线，则其切线方向为
( 0 , ⋯ , 1 , ⋯ , 0 , ∂ f ∂ x j ) (0,\cdots,1,\cdots,0,\frac{\partial f}{\partial x_j}) (0,⋯,1,⋯,0,∂xj∂f)
该矢量与法矢量的点乘仍然为0。
切线和法线的绘制
对于 z = 1 − x 2 − y 2 z=1-x^2-y^2 z=1−x2−y2，其法向量为 ( − 2 x , − 2 y , − 1 ) (-2x,-2y,-1) (−2x,−2y,−1)，其最大方向导数处的切向量为 ( − x x 2 + y 2 , − y x 2 + y 2 , 2 x 2 + y 2 ) = ( − x , − y , 2 − 2 z ) (\frac{-x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{-y}{\sqrt{x^2+y^2}},2\sqrt{x^2+y^2})=(-x,-y,2-2z) (x2+y2−x,x2+y2−y,2x2+y2)=(−x,−y,2−2z)， x x x轴方向的切向量为 ( 1 , 0 , − 2 x ) (1,0,-2x) (1,0,−2x)， y y y轴方向处的切向量为 ( 0 , 1 , − 2 y ) (0,1,-2y) (0,1,−2y)。
现随机选择一些点，来绘制一下这四个方向的向量
library(rgl)
N = 1500
x<-rnorm(N)
y<-rnorm(N)
z<-1-x^2-y^2
for(i in 1:N){
lines3d(c(x[i],3*x[i]),c(y[i],3*y[i]),c(z[i],z[i]+1),col='red')
if(y[i]>0.1)
lines3d(c(x[i],x[i]),c(y[i],y[i]-1/y[i]/2),c(z[i],z[i]+1),col='green')
if(x[i]>0.1)
lines3d(c(x[i],x[i]-1/x[i]/2),c(y[i],y[i]),c(z[i],z[i]+1),col='green')
lines3d(c(x[i],x[i]*(1-2*z[i])/(2-2*z[i])),c(y[i],y[i]*(1-2*z[i])/(2-2*z[i])),c(z[i],z[i]+1),col='green')
}
可以看到，绿线几乎重新编织了一遍原函数，而红线则刺破了曲面。