FPGA：逻辑代数的基本公式和规则

逻辑代数的基本公式

基本公式

逻辑代数的基本公式

• 0、1律: $A+0=A \quad A+1=1 \quad A \cdot 1=A \quad A \cdot 0=0 $
• 互补律: $A+\bar{A}=1 \quad A \cdot \bar{A}=0 $
• 交换律: $A+B=B+A \quad A \cdot B=B \cdot A $
• 结合律: $A+B+C=(A+B)+C \quad A \cdot B \cdot C=(A \cdot B) \cdot C $
• 分配律: $A(B+C)=A B+A C \quad A+B C=(A+B)(A+C) $
• 重叠律:
• 反演律:
• 吸收律:
  
• 其他常用恒等式:
  

常用公式

示例

1.证明 ,$ \quad \overline{A B}=\bar{A}+\bar{B}$

列出等式、右边的函数值的真值表

可见上面每个等式两边的真值表相同，故等式成立。

2.用基本公式证明下列等式成立。

证明：

3.求证

4.求证

逻辑代数的基本规则

代入规则

在包含变量A逻辑等式中，如果用另一个函数式代入式中所有A的位置，则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。

用B·C 代替B，得

得代入规则可以扩展所有基本公式或定律的应用范围

反演规则

对于任意一个逻辑表达式L，若将其中所有的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（•）；原变量换为反变量，反变量换为原变量；将1换成0，0换成1；则得到的结果就是原函数的反函数。

1.试求的非函数。

解：按照反演规则，得

2.试求的非函数

解：由反演规则，可得，保留反变量以外的非号不变。

对偶规则

对于任何逻辑函数式，若将其中的与（• ）换成或（+），或（+）换成与（•）；并将1换成0，0换成1；那么，所得的新的函数式就是L的对偶式，记作。

3.逻辑函数的对偶式为

当某个逻辑恒等式成立时，则该恒等式两侧的对偶式也相等。这就是对偶规则。利用对偶规则，可从已知公式中得到更多的运算公式。

参考文献：

1. Verilog HDL与FPGA数字系统设计，罗杰，机械工业出版社，2015年04月
2. Verilog HDL与CPLD/FPGA项目开发教程(第2版), 聂章龙, 机械工业出版社, 2015年12月
3. Verilog HDL数字设计与综合(第2版), Samir Palnitkar著，夏宇闻等译, 电子工业出版社, 2015年08月
4. Verilog HDL入门(第3版), J. BHASKER 著 夏宇闻甘伟 译, 北京航空航天大学出版社, 2019年03月