本文分析了激活函数对于神经网络的必要性，同时讲解了几种常见的激活函数的原理，并给出相关公式、代码和示例图。
激活函数概述
前言
人工神经元(Artificial Neuron)，简称神经元(Neuron)，是构成神经网络的基本单元，其主要是模拟生物神经元的结构和特性，接收一组输入信号并产生输出。生物神经元与人工神经元的对比图如下所示。
从机器学习的角度来看，神经网络其实就是一个非线性模型，其基本组成单元为具有非线性激活函数的神经元，通过大量神经元之间的连接，使得多层神经网络成为一种高度非线性的模型。神经元之间的连接权重就是需要学习的参数，其可以在机器学习的框架下通过梯度下降方法来进行学习。
激活函数定义
激活函数（也称“非线性映射函数”），是深度卷积神经网络模型中必不可少的网络层。
假设一个神经元接收 \(D\) 个输入 \(x_1, x_2,⋯, x_D\)，令向量 \(x = [x_1;x_2;⋯;x_????]\) 来表示这组输入，并用净输入(Net Input) \(z \in \mathbb{R}\) 表示一个神经元所获得的输入信号 \(x\) 的加权和:
其中 \(w = [w_1;w_2;⋯;w_????]\in \mathbb{R}^D\) 是 \(D\) 维的权重矩阵，\(b \in \mathbb{R}\) 是偏置向量。
以上公式其实就是带有偏置项的线性变换（类似于放射变换），本质上还是属于线形模型。为了转换成非线性模型，我们在净输入 \(z\) 后添加一个非线性函数 \(f\)（即激活函数）。
由此，典型的神经元结构如下所示:
激活函数性质
为了增强网络的表示能力和学习能力，激活函数需要具备以下几点性质:
- 连续并可导(允许少数点上不可导)的非线性函数。可导的激活函数 可以直接利用数值优化的方法来学习网络参数。
- 激活函数及其导函数要尽可能的简单，有利于提高网络计算效率。
- 激活函数的导函数的值域要在一个合适的区间内，不能太大也不能太小，否则会影响训练的效率和稳定性.
Sigmoid 型函数
Sigmoid 型函数是指一类 S 型曲线函数，为两端饱和函数。常用的 Sigmoid 型函数有 Logistic 函数和 Tanh 函数。
相关数学知识: 对于函数 \(f(x)\)，若 \(x \to −\infty\) 时，其导数 \({f}'\to 0\)，则称其为左饱和。若 \(x \to +\infty\) 时，其导数 \({f}'\to 0\)，则称其为右饱和。当同时满足左、右饱和时，就称为两端饱和。
Sigmoid 函数
对于一个定义域在 \(\mathbb{R}\) 中的输入，sigmoid 函数将输入变换为区间 (0, 1) 上的输出（sigmoid 函数常记作 \(\sigma(x)\)）:
sigmoid 函数的导数公式如下所示:
sigmoid 函数及其导数图像如下所示:
注意，当输入为 0 时，sigmoid 函数的导数达到最大值 0.25; 而输入在任一方向上越远离 0 点时，导数越接近 0。
sigmoid 函数在隐藏层中已经较少使用，其被更简单、更容易训练的 ReLU 激活函数所替代。
当我们想要输出二分类或多分类、多标签问题的概率时，sigmoid 可用作模型最后一层的激活函数。下表总结了常见问题类型的最后一层激活和损失函数。
| 问题类型 | 最后一层激活 | 损失函数 |
|---|---|---|
| 二分类问题（binary） | sigmoid |
sigmoid + nn.BCELoss(): 模型最后一层需要经过 torch.sigmoid 函数 |
| 多分类、单标签问题（Multiclass） | softmax |
nn.CrossEntropyLoss(): 无需手动做 softmax
|
| 多分类、多标签问题（Multilabel） | sigmoid |
sigmoid + nn.BCELoss(): 模型最后一层需要经过 sigmoid 函数 |
nn.BCEWithLogitsLoss()函数等效于sigmoid + nn.BCELoss。
Tanh 函数
Tanh（双曲正切）函数也是一种 Sigmoid 型函数，可以看作放大并平移 Sigmoid 函数，其能将其输入压缩转换到区间 (-1, 1) 上。公式如下所示：
Sigmoid 函数和 Tanh 函数曲线如下图所示:
两种激活函数实现和可视化代码如下所示:
# example plot for the sigmoid activation function
from math import exp
from matplotlib import pyplot
import matplotlib.pyplot as plt
# sigmoid activation function
def sigmoid(x):
"""1.0 / (1.0 + exp(-x))
"""
return 1.0 / (1.0 + exp(-x))
def tanh(x):
"""2 * sigmoid(2*x) - 1
(e^x – e^-x) / (e^x + e^-x)
"""
# return (exp(x) - exp(-x)) / (exp(x) + exp(-x))
return 2 * sigmoid(2*x) - 1
def relu(x):
return max(0, x)
def gradient_relu(x):
if x < 0:
return 0
else:
return 1
def gradient_sigmoid(x):
"""sigmoid(x)(1−sigmoid(x))
"""
a = sigmoid(x)
b = 1 - a
return a*b
# 1, define input data
inputs = [x for x in range(-10, 11)]
# 2, calculate outputs
outputs = [sigmoid(x) for x in inputs]
outputs2 = [tanh(x) for x in inputs]
# 3, plot sigmoid and tanh function curve
plt.figure(dpi=90) # dpi 设置
plt.style.use('ggplot') # 主题设置
plt.subplot(1, 2, 1) # 绘制子图
plt.plot(inputs, outputs, label='sigmoid')
plt.plot(inputs, outputs2, label='tanh')
plt.xlabel("x") # 设置 x 轴标签
plt.ylabel("y")
plt.title('sigmoid and tanh') # 折线图标题
plt.legend()
plt.show()
另外一种 Logistic 函数和 Tanh 函数的形状对比图:
来源: 《神经网络与深度学习》图4.2。
Logistic 函数和 Tanh 函数都是 Sigmoid 型函数，具有饱和性，但是计算开销较大。因为这两个函数都是在中间(0 附近)近似线性，两端饱和。因此，这两个函数可以通过分段函数来近似。
ReLU 函数及其变体
ReLU 函数
ReLU(Rectified Linear Unit，修正线性单元)，是目前深度神经网络中最经常使用的激活函数。公式如下所示:
以上公式通俗理解就是，ReLU 函数仅保留正元素并丢弃所有负元素。
1，优点:
-
ReLU激活函数计算简单； - 具有很好的稀疏性，大约 50% 的神经元会处于激活状态。
- 函数在 \(x > 0\) 时导数为 1 的性质（左饱和函数），在一定程度上缓解了神经网络的梯度消失问题，加速梯度下降的收敛速度。
相关生物知识: 人脑中在同一时刻大概只有 1% ∼ 4% 的神经元处于活跃 状态。
2，缺点:
- ReLU 函数的输出是非零中心化的，给后一层的神经网络引入偏置偏移，会影响梯度下降的效率。
- ReLU 神经元在训练时比较容易“死亡”。如果神经元参数值在一次不恰当的更新后，其值小于 0，那么这个神经元自身参数的梯度永远都会是 0，在以后的训练过程中永远不能被激活，这种现象被称作“死区”。
ReLU 激活函数的代码定义如下:
# pytorch 框架对应函数： nn.ReLU(inplace=True)
def relu(x):
return max(0, x)
ReLU 激活函数及其函数梯度图如下所示:
Leaky ReLU/PReLU/ELU/Softplus 函数
1，Leaky ReLU 函数: 为了缓解“死区”现象，研究者将 ReLU 函数中 \(x < 0\) 的部分调整为 \(\gamma \cdot x\)， 其中 \(\gamma\) 常设置为 0.01 或 0.001 数量级的较小正数。这种新型的激活函数被称作带泄露的 ReLU(Leaky ReLU)。
2，PReLU 函数: 为了解决 Leaky ReLU 中超参数 \(\gamma\) 不易设定的问题，有研究者提出了参数化 ReLU(Parametric ReLU，PReLU)。参数化 ReLU 直接将 \(\gamma\) 也作为一个网络中可学习的变量融入模型的整体训练过程。对于第 \(i\) 个神经元，PReLU 的 定义为:
3，ELU 函数: 2016 年，Clevert 等人提出了 ELU(Exponential Linear Unit，指数线性单元)，它是一个近似的零中心化的非线性函数。ELU 具备 ReLU 函数的优点，同时也解决了 ReLU 函数的“死区”问题，但是，其指数操作也增加了计算量。 \(\gamma ≥ 0\) 是一个超参数，决定 \(x ≤ 0\) 时的饱和曲线，并调整输出均值在 0 附近。ELU 定义为:
4，Softplus 函数: Softplus 函数其导数刚好是 Logistic 函数.Softplus 函数虽然也具有单侧抑制、宽 兴奋边界的特性，却没有稀疏激活性。Softplus 定义为:
注意: ReLU 函数变体有很多，但是实际模型当中使用最多的还是 ReLU 函数本身。
ReLU、Leaky ReLU、ELU 以及 Softplus 函数示意图如下图所示:
Swish 函数
Swish 函数[Ramachandran et al., 2017] 是一种自门控(Self-Gated)激活 函数，定义为
其中 \(\sigma(\cdot)\) 为 Logistic 函数，\(\beta\) 为可学习的参数或一个固定超参数。\(\sigma(\cdot) \in (0, 1)\) 可以看作一种软性的门控机制。当 \(\sigma(\beta x)\) 接近于 1 时，门处于“开”状态，激活函数的输出近似于 \(x\) 本身；当 \(\sigma(\beta x)\) 接近于 0 时，门的状态为“关”，激活函数的输出近似于 0。
Swish 函数代码定义如下，结合前面的画曲线代码，可得 Swish 函数的示例图。
def swish(x, beta = 0):
"""beta 是需要手动设置的参数"""
return x * sigmoid(beta*x)
Swish 函数可以看作线性函数和 ReLU 函数之间的非线性插值函数，其程度由参数 \(\beta\) 控制。
激活函数总结
常用的激活函数包括 ReLU 函数、sigmoid 函数和 tanh 函数。下表汇总比较了几个激活函数的属性:
