1. 前言
什么是二叉堆？
二叉堆是有序的 完全二叉树，在完全二叉树的基础上，二叉堆 提供了有序性特征：
-
二叉堆的根结点上的值是整个堆中的最小值或最大值。 -
当
根结点上的值是整个堆结构中的最小值时，此堆称为最小堆。最小堆中，任意节点的值大于父结点的值。 -
当
根结点上的值是整个堆结构中的最大值时，则称堆为最大堆。最大堆中，任意节点的值小于父结点的值。
根据完全二叉树的特性，二叉堆的父结点与子结点之间满足下面的关系：
-
如果知道了一个结点的位置
i，则其左子结点在2*i位置，右子结点在2*i+1位置。Tips： 前提是存在有子结点。
-
如果知道了一个结点的位置
i，则其父结点在i除以2的位置。Tips： 根结点没有父结点。
如上图所示：
值为 5 的结点在 2 处，则其左结点 12 的位置应该在 2*2=4 处，而实际情况也是在 4 位置。其右子结点 13 的位置应该在 2*2+1=5 的位置，实际位置也是在 5 位置。
值为 19 的结点现在 7 位置，其父结点的根据公式 7 除 2 等于 3(取整)，应该在 3 处，而实际情况也是在 3 处（位置在 3、 值为 8 的结点是其父结点）。
2 堆的数据结构
2.1 二叉堆的抽象数据结构
当谈论某种数据结构的抽象数据结构时，最基本的 API 无非就是增、删、改、查。
二叉堆的基本抽象数据结构：
-
Heap()：创建一个新堆。 -
insert(data)： 向堆中添加新节点（数据）。 -
getRoot()： 返回最小（大）堆的最小（大）元素。 -
removeRoot()：删除根节点。 -
isEmpty()：判断堆是否为空。 -
findAll()：查询堆中所有数据。
根据二叉堆的特性，顺序存储应该成为堆的首选方案。
如有数列=[8,5,12,15,19,13,1]，可以先创建一个一维数组。
数组第 0 位置初始为 0，从第 2 个位置也就是索引号为 1 的地方开始存储堆的数据。如下图，二叉堆中的数据在数组中的对应存储位置。
2.2 基础 API 实现
设计一个 Heap 类封装对二叉堆的操作方法，类中方法用来实现最小堆。
#include <iostream>
using namespace std;
/*
* 堆类
*/
template<typename T>
class Heap{
private:
//数组
T heapList[100];
//实际大小
int size=0;
public:
/*
*构造函数
*/
Heap(){
}
/*
*返回根结点的值
*/
T getRoot();
/*
*删除根结点
*/
T removeRoot();
/*
*递归删除
*/
T removeRoot_();
void removeRootByRecursion(int parentIdx );
/*
*初始化根结点
*/
void setRoot(T val);
/*
*添加新结点,返回存储位置
*/
int insert(T val);
/*
*堆是否为空
*/
bool isEmpty();
/*
* 递归插入
*/
int insert_(T val);
int insertByRecursion(int pos);
/*
*输出所有结点
*/
void findAll() {
for(int i=0; i<=size; i++)
cout<<this->heapList[i]<<"\t";
cout<<endl;
}
};
Heap 类中的属性详解：
-
heapList：使用数组存储二叉堆的数据，初始时，列表的第0位置初始为默认值0。Tips： 为什么要设置列表的第
0位置的默认值为0？这个
0也不是随意指定的，有其特殊数据含义：用来描述根结点的父结点编号或者说根结点没有父结点。 -
size：用来存储二叉堆中数据的实际个数。
Heap 类中的方法介绍：
isEmpty：检查是不是空堆。逻辑较简单。
/*
*当 size 为 0 时，堆为空
*/
template<typename T>
bool Heap<T>::isEmpty(){
return Heap::size==0;
}
setRoot：创建根结点。保证根节点始终存储在列表索引为 1 的位置。
/*
*初始化根结点
*/
template<typename T>
void Heap<T>::setRoot(T val) {
if( Heap<T>::heapList[1]==0 )
Heap<T>::heapList[1]=val;
Heap<T>::size++;
}
getRoot：如果是最大堆，则返回二叉堆的最大值，如果是最小堆，则返回二叉堆的最小值。
/*
*返回根结点
*/
template<typename T>
T Heap<T>::getRoot() {
if( !Heap<T>::isEmpty )
return Heap<T>::heapList[1];
}
Tips： 使用数组存储二叉堆数据时，根结点始终保存在索引号为
1的位置。
前面是几个基本方法，现在实现添加新结点，编码之前，先要知道如何在二叉堆中添加新结点：
2.3 上沉算法
添加新结点采用上沉算法。如下演示上沉算法的实现过程。
- 把
新结点添加到已有的二叉堆的最后面。如下图，添加值为4的新结点，存储至索引号为7的位置。
- 查找
新结点的父结点，并与父结点的值比较大小，如果比父结点的值小，则和父结点交换位置。如下图，值为4的结点小于值为8的父结点，两者交换位置。
- 交换后再查询是否存在父结点，如果有，同样比较大小、交换，直到到达根结点或比父结点大为止。值为
4的结点小于值为5的父结点，继续交换。交换后，新结点已经达到了根结点位置，整个添加过程可结束。观察后会发现，遵循此流程添加后，没有破坏二叉堆的有序性。
编码实现 insert 方法
/*
*添加新结点
*/
template<typename T>
T Heap<T>::insert(T val) {
//存储在最后一个位置
int pos= ++Heap<T>::size;
Heap<T>::heapList[pos]=val;
int temp=0;
//上沉算法
while(1) {
//找到父结点位置
int parentIdx= pos / 2;
if(parentIdx==0)
//出口一，没有父结点
break;
if( Heap<T>::heapList[pos]>Heap<T>::heapList[parentIdx] )
//出口二：大于父结点
break;
else {
//和父亲结点交换
temp=Heap<T>::heapList[pos];
Heap<T>::heapList[pos]=Heap<T>::heapList[parentIdx];
Heap<T>::heapList[parentIdx]=temp;
pos=parentIdx
}
}
}
测试向二叉堆中添加数据。
int main(int argc, char** argv) {
//实例化堆
Heap<int> heap;
//初始化根结点
heap.setRoot(5);
//检查根结点是否创建成功
int rootVal=heap.getRoot();
cout<<"根结点的值："<<rootVal<<endl;
//添加值为 12和值为 13 的 2个新结点，检查添加新结点后整个二叉堆的有序性是否正确。
heap.insert(12);
heap.insert(13);
cout<<"测试一："<<endl;
heap.findAll();
return 0;
}
输出结果：
添加值为 1 的新结点，并检查二叉堆的有序性。
int main(int argc, char** argv) {
//省略……
//添加值为 1 的结点
heap.insert(1);
cout<<"测试二："<<endl;
heap.findAll();
return 0;
}
继续添加值为 15、19、8 的 3 个新结点，并检查二叉堆的状况。
int main(int argc, char** argv) {
//省略……
heap.insert(15);
heap.insert(19);
heap.insert(8);
cout<<"测试三："<<endl;
heap.findAll();
return 0;
}
上沉算法同样可以使用递归实现。
/*
*递归实现插入
*/
template<typename T>
int Heap<T>::insert_(T val) {
//存储在最后一个位置
int pos= ++Heap<T>::size;
Heap<T>::heapList[pos]=val;
//调用
Heap<T>::insertByRecursion(pos);
}
template<typename T>
int Heap<T>::insertByRecursion(int pos) {
//找到父结点位置
int parentIdx= pos / 2;
if(parentIdx==0)
//出口一，没有父结点
return pos;
if( Heap<T>::heapList[pos]>Heap<T>::heapList[parentIdx] )
//出口二：大于父结点
return pos;
else {
//和父亲结点交换
int temp=Heap<T>::heapList[pos];
Heap<T>::heapList[pos]=Heap<T>::heapList[parentIdx];
Heap<T>::heapList[parentIdx]=temp;
//递归
Heap<T>::insertByRecursion(parentIdx);
}
}
2.4 下沉算法
介绍完添加方法后，再来了解一下，如何使用下沉算法删除二叉堆中的结点。
二叉堆的删除操作从根结点开始，如下图删除根结点后，空出来的根结点位置，需要在整个二叉堆中重新找一个结点充当新的根结点。
二叉堆中使用下沉算法选择新的根结点：
- 找到二叉堆中的最后一个结点，移到到根结点位置。如下图，把二叉堆中最后那个值为
19的结点移到根结点位置。
- 最小堆中，如果
新的根结点的值比左或右子结点的值大，则和子结点交换位置。如下图，在二叉堆中把19和5的位置进行交换。
Tips： 总是和最小的子结点交换。
- 交换后，如果还是不满足最小二叉堆父结点小于子结点的规则，则继续比较、交换
新根结点直到下沉到二叉堆有序为止。如下，继续交换12和19的值。如此反复经过多次交换直到整个堆结构符合二叉堆的特性。
removeoot 方法的具体实现：
/*
* 下沉算法，删除结点
*/
template<typename T>
T Heap<T>::removeRoot() {
if(Heap<T>::size==0)return NULL;
T root=Heap<T>::heapList[1];
if(Heap<T>::size==1) {
Heap<T>::size--;
return root;
}
//堆中最后一个结点移动根结点
Heap<T>::heapList[1]=Heap<T>::heapList[Heap<T>::size];
Heap<T>::size--;
//下沉算法
int parentIdx=1;
//子结点值
T minChild;
//子结点位置
int idx;
while(1) {
//左结点位置
int leftIdx=parentIdx*2;
//右结点位置
int rightIdx=parentIdx*2+1;
if( leftIdx<=Heap<T>::size && rightIdx<=Heap<T>::size ) {
//记录较小的结点值和位置
minChild=Heap<T>::heapList[leftIdx]<Heap<T>::heapList[rightIdx]?Heap<T>::heapList[leftIdx]:Heap<T>::heapList[rightIdx];
idx=Heap<T>::heapList[leftIdx]<Heap<T>::heapList[rightIdx]?leftIdx:rightIdx;
} else if( leftIdx<=Heap<T>::size) {
minChild=Heap<T>::heapList[leftIdx];
idx=leftIdx;
} else if( rightIdx<=Heap<T>::size ) {
minChild=Heap<T>::heapList[rightIdx];
idx=rightIdx;
}else{
//没有子结点
break;
}
//是否交换
if( Heap<T>::heapList[parentIdx]>minChild ) {
Heap<T>::heapList[idx]=Heap<T>::heapList[parentIdx];
Heap<T>::heapList[parentIdx]=minChild;
parentIdx=idx;
} else {
break;
}
}
return root;
}
测试在二叉堆中删除结点：
int main(int argc, char** argv) {
//省略……
cout<<"测试删除一:"<<endl;
heap.removeRoot();
heap.findAll();
return 0;
}
可以看到最后二叉堆的结构和有序性都得到了完整的保持。
"下沉算法" 同样可以使用递归实现。
/*
*递归实现下沉算法
*/
template<typename T>
T Heap<T>::removeRoot_() {
if(Heap<T>::size==0)return NULL;
//根结点值
T root=Heap<T>::heapList[1];
//
if(Heap<T>::size==1) {
Heap<T>::size--;
return root;
}
//堆中最后一个结点移动根结点
Heap<T>::heapList[1]=Heap<T>::heapList[Heap<T>::size];
Heap<T>::size--;
//调用
Heap<T>::removeRootByRecursion(1);
return root;
}
template<typename T>
void Heap<T>::removeRootByRecursion(int parentIdx ) {
//子结点值
T minChild;
//子结点位置
int idx;
//左结点位置
int leftIdx=parentIdx*2;
//右结点位置
int rightIdx=parentIdx*2+1;
if( leftIdx<=Heap<T>::size && rightIdx<=Heap<T>::size ) {
//记录较小的结点值和位置
minChild=Heap<T>::heapList[leftIdx]<Heap<T>::heapList[rightIdx]?Heap<T>::heapList[leftIdx]:Heap<T>::heapList[rightIdx];
idx=Heap<T>::heapList[leftIdx]<Heap<T>::heapList[rightIdx]?leftIdx:rightIdx;
} else if( leftIdx<=Heap<T>::size) {
minChild=Heap<T>::heapList[leftIdx];
idx=leftIdx;
} else if( rightIdx<=Heap<T>::size ) {
minChild=Heap<T>::heapList[rightIdx];
idx=rightIdx;
} else {
//没有子结点
return;
}
//是否交换
if( Heap<T>::heapList[parentIdx]>minChild ) {
Heap<T>::heapList[idx]=Heap<T>::heapList[parentIdx];
Heap<T>::heapList[parentIdx]=minChild;
//递归
Heap<T>::removeRootByRecursion(idx);
} else {
return;
}
}
3. 堆排序
堆排序指借助堆的有序性对数据进行排序。
- 需要排序的数据以堆的方式保存。
- 然后再从堆中以根结点方式取出来，无序数据就会变成有序数据 。
如有数列=[4,1,8,12,5,10,7,21,3]，现通过堆的数据结构进行排序。
int main(int argc, char** argv) {
//实例化堆
Heap<int> heap;
int nums[] = {4,1,8,12,5,10,7,21,3};
int size=sizeof(nums)/4;
// 创建根节点
heap.setRoot(nums[0]);
// 其它数据添加到二叉堆中
for (int i=1; i<size; i++) {
heap.insert(nums[i]);
}
cout<<"堆中数据："<<endl;
heap.findAll();
// 获取堆中的数据
for(int i=0; i<size; i++ ) {
nums[i]= heap.removeRoot();
heap.findAll();
}
for(int i=0; i<size; i++)
cout<<nums[i]<<"\t";
return 0;
}
输出结果：
本例中的代码还有优化空间，本文试图讲清楚堆的使用，优化的地方交给有兴趣者。
4. 后记
在树结构上加上一些新特性要求，树会产生很多新的变种，如二叉树，限制子结点的个数，如满二叉树，限制叶结点的个数，如完全二叉树就是在满二叉树的“满”字上做点文章，让这个''满"变成"不那么满"。
在完全二叉树上添加有序性，则会衍生出二叉堆数据结构。利用二叉堆的有序性，能轻松完成对数据的排序。