扩展KMP算法

前文已经介绍了经典的KMP算法，本文继续介绍KMP算法的扩展，即扩展KMP算法。
问题定义：给定两个字符串S和T（长度分别为n和m），下标从0开始，定义extend[i]等于S[i]…S[n-1]与T的最长公共前缀的长度，求出所有的extend[i]。举个例子，看下表：

i	0	1	2	3	4	5	6	7
S	a	a	a	a	a	b	b	b
extend[i]	5	4	3	2	1	0	0	0
T	a	a	a	a	a	c

为什么说这是KMP算法的扩展呢？显然，如果在S的某个位置i有extend[i]等于m，则可知在S中找到了匹配串T，并且匹配的首位置是i。而且，扩展KMP算法可以找到S中所有T的匹配。接下来具体介绍下这个算法。

一：算法流程

（1）

如上图，假设当前遍历到S串位置i，即extend[0]…extend[i-1]这i个位置的值已经计算得到。算法在遍历过程中记录了匹配成功的字符的最远位置p，及这次匹配的起始位置a。相较于字符串T得出，S[a]…S[p]等于T[0]…T[p-a]。

再定义一个辅助数组int next[]，其中next[i]含义为：T[i]…T[m-1]与T的最长公共前缀长度，m为串T的长度。

（2）

椭圆的长度为next[i-a]，对比S和T，很容易发现，三个椭圆完全相同。如上图，此时i+next[i-a]<p，根据next数组的定义，此时extend[i]=next[i-a]。

（3）

如果i+next[i-a]>=p呢？仔细观察上图，很容易发现i+next[i-a]是不可能大于p的，如果可以大于p，那么以a为起始位置的最远匹配位置就不是p了，而是到了红线位置。因此i+next[i-a]只可以小于等于p，小于的情况已经讨论过了，下面讨论下等于的情况，见下图：

三个椭圆都是完全相同的，此时我们可以直接从S[p]与T[next[i-a]-1]开始往后匹配，加快了速度。
（4）最后，就是求解next数组。我们再来看下next与extend的定义：
next[i]： T[i]…T[m-1]与T的最长公共前缀长度；
extend[i]： S[i]…S[n-1]与T的最长公共前缀的长度。
恍然大悟，求解next的过程不就是T自己和自己的一个匹配过程嘛，下面直接看代码。

二：代码

/**
 *
 * author 刘毅（Limer）
 * date   2017-03-12
 * mode   C++
 */
#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

/* 求解T中next[]，注释参考GetExtend() */
void GetNext(string T, int next[])
{
    int t_len = T.size();
    next[0] = t_len;
    int a;
    int p;

    for (int i = 1, j = -1; i < t_len; i++, j--)
    {
        if (j < 0 || i + next[i - a] >= p)
        {
            if (j < 0)
                p = i, j = 0;

            while (p < t_len&&T[p] == T[j])
                p++, j++;

            next[i] = j;
            a = i;
        }
        else
            next[i] = next[i - a];
    }
}

/* 求解extend[] */
void GetExtend(string S, string T, int extend[], int next[])
{
    GetNext(T, next);  //得到next
    int a;             
    int p;             //记录匹配成功的字符的最远位置p，及起始位置a
    int s_len = S.size();
    int t_len = T.size();

    for (int i = 0, j = -1; i < s_len; i++, j--)  //j即等于p与i的距离，其作用是判断i是否大于p（如果j<0，则i大于p）
    {
        if (j < 0 || i + next[i - a] >= p)  //i大于p（其实j最小只可以到-1，j<0的写法方便读者理解程序），
        {                                   //或者可以继续比较（之所以使用大于等于而不用等于也是为了方便读者理解程序）
            if (j < 0)
                p = i, j = 0;  //如果i大于p

            while (p < s_len&&j < t_len&&S[p] == T[j])
                p++, j++;

            extend[i] = j;
            a = i;
        }
        else
            extend[i] = next[i - a];
    }
}

int main()
{
    int next[100] = { 0 };
    int extend[100] = { 0 };
    string S = "aaaaabbb";
    string T = "aaaaac";

    GetExtend(S, T, extend, next);

    //打印next和extend
    cout << "next:    " << endl;
    for (int i = 0; i < T.size(); i++)
        cout << next[i] << " ";

    cout << "\nextend:  " << endl;
    for (int i = 0; i < S.size(); i++)
        cout << extend[i] << " ";

    cout << endl;
    return 0;
}

三：时间复杂度

Θ(n+m)。

参考文献：
[ 1 ] NOALGO. 扩展KMP算法
[ 2 ] ACdreamer. 扩展KMP算法

我的个人博客：http://www.61mon.com/index.php/archives/186/

一：算法流程

二：代码

三：时间复杂度

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