数据结构高阶--二叉搜索树（原理+实现）

概念

二叉搜索树又称为二叉排序树，因为这棵树的中序遍历是有序的。二叉搜索树总结起来有以下几个性质：

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于于根节点的值
• 它的左右子树都是二叉搜索树
• 这棵树中没有重复的元素

举个例子：

二叉搜索树的实现

基本框架

template <class K,class V>
struct  BST_Node
{
	BST_Node<K,V>* left;
	BST_Node<K,V>* right;
	K key;
	V value;
	//构造函数
	BST_Node(const K& key, const V& value):left(nullptr),right(nullptr),key(key),value(value)
	{}
};
template <class K,class V>
class BST_Tree
{
	typedef BST_Node<K,V> Node;
public:
private:
	Node* root = nullptr;
};

要实现的接口

bool Insert(const K& key,const V& value);//二叉搜索树的插入
void InOrder();//打印功能，采用中序遍历（递归）
Node* Find(const K& key);//二叉搜索树的查找
bool Erase(const K& key);//二叉搜索树的删除

二叉搜索树的插入

插入分为下面几个步骤：

• 先判断树是否为空，为空就让要插入的这个节点作为根节点，然后结束
• 确定要插入节点的位置
• 用一个cur记录当前节点，parent记录父节点
• 要插入节点的值如果比当前节点的值小，cur就往左走，如果比当前节点的值大，就往右子树走，如果等于就返回false，表面这棵树中有这个数据，不需要插入

//二叉搜索树的插入
	bool Insert(const K& key,const V& value)
	{
		//没有节点的时候就是根节点
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key,value);
			return true;
		}
		//用一个父节点记录cur的上一个节点
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = root;
		while (cur)
		{
			parent = cur;
			//小于往左走
			if (key < cur->key)
			{
				cur = cur->left;
			}
			else if (key > cur->key)
			{
				cur = cur->right;
			}
			else
				return false;
		}
		cur = new Node(key,value);
		//判断应该插在父节点的左边还是右边
		if (cur->key < parent->key)
		{
			parent->left = cur;
		}
		else
		{
			parent->right = cur;
		}
		return true;
	}

打印二叉搜索树（中序遍历）

//中序遍历（递归）
	void InOrder()
	{
		_InOrder(root);
		cout << endl;
	}
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return;
		}
		else
		{
			_InOrder(root->left);
			cout << root->key << ":" << root->value << endl;
			_InOrder(root->right);
		}
	}

二叉搜索树的查找

查找的步骤如下：（和插入的步骤有些类似）

• 如果查找值key比当前节点的值小，就往左子树走
• 如果查找值key比当前节点的值大，就往右子树走
• 如果查找值key和当前节点的值相等，就返回当前节点的指针

//二叉搜索树的查找
	Node* Find(const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return nullptr;
		}
		Node* cur = root;//遍历结点
		while (cur)
		{
			//小于往左走
			if (cur->key > key)
			{
				cur = cur->left;
			}
			else if (cur->key < key)
			{
				cur = cur->right;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

二叉搜索树的删除（难）

分四种情况：我们一个一个来讨论

以下面这颗树为例：

情景一：

情景二：

还要分析一种特殊的情况，就是此时2没有父亲节点，也就是自己为根时，看下面如何操作

情景三：

该节点如果为根节点，就让自己的右孩子变成根节点

情景四：

总结： 一共有四种情况，但是情况1可以归为情况3，因为它也是左为空，所以整体处理下来是三种情况

//二叉搜索树的删除
bool Erase(const K& key)
{
	//树为空，删除失败
	if (root == nullptr)
	{
		return false;
	}
	//parent始终是cur的父亲节点
	//cur就是要找的删除的当前节点
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = root;
	while (cur)
	{
		//小于往左边走
		if (key < cur->key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->left;
		}
		else if (key > cur->key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->right;
		}
		else
		{
			// 找到了，开始删除
			// 1.左右子树都为空，直接删除，可以归类为左为空
			// 2.左右子树只有一边为空，左为空，父亲指向我的右，右为空，父亲指向我的左  
			// 3.左右子树都不为空，取左子树最大的节点或右子树最小的节点和要删除的节点交换，然后再删除

			//当前情况是情景三，删除的节点它的左为空，右未知
			if (cur->left == nullptr)
			{
				// 要删除节点为根节点时，直接把右子树的根节点赋值给——root
				// 根节点的话会导致parent为nullptr
				if (root == cur)
				{
					root = root->right;
				}
				else
				{
					//左为空，父亲指向我的右
					//判断cur在父亲的左还是右
					if (parent->left == cur)
					{
						parent->left = cur->right;
					}
					else
					{
						parent->right = cur->right;
					}
				}
				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			//当前情况是情景二，删除节点它的右为空，左未知
			else if (cur->right == nullptr)
			{
				if (root ==cur )
				{
					root = root->left;
				}
				else
				{
					//右为空，父亲指向我的左
					//判断cur在父亲的左还是右
					if (parent->left == cur)
					{
						parent->left = cur->left;
					}
					else
					{
						parent->right = cur->left;
					}
				}
				delete cur;
				cur = nullptr;
			}
			//只剩下情景四
			else
			{
				//找右子树中最小的节点，当前cur就是要删除的节点
				Node* rightMinParent = cur;
				Node* rightMin = cur->right;//去右子树找最小的节点
				while (rightMin->left)
				{
					rightMinParent = rightMin;
					rightMin = rightMin->left;
				}
				//替代删除
				cur->key = rightMin->key;
				//转化成了情景三，左孩子为空
				if (rightMinParent->left == rightMin)
					rightMinParent->left = rightMin->right;
				else
					rightMinParent->right = rightMin->right;

				delete rightMin;
				rightMin = nullptr;
			}
			return true;
		}
	}
	return false;
}

完整代码以及测试

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream> //引入头文件
#include<string>//C++中的字符串
using namespace std; //标准命名空间
template <class K >
struct  BST_Node
{
	BST_Node<K>* left;
	BST_Node<K>* right;
	K key;
	//构造函数
	BST_Node(const K& key):left(nullptr),right(nullptr),key(key)
	{}
};
template <class K>
class BST_Tree
{
	typedef BST_Node<K> Node;
public:
	//二叉搜索树的插入
	bool Insert(const K& key)
	{
		//没有节点的时候就是根节点
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key);
			return true;
		}
		//用一个父节点记录cur的上一个节点
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = root;
		while (cur)
		{
			parent = cur;
			//小于往左走
			if (key < cur->key)
			{
				cur = cur->left;
			}
			else if (key > cur->key)
			{
				cur = cur->right;
			}
			else
				return false;
		}
		cur = new Node(key);
		//判断应该插在父节点的左边还是右边
		if (cur->key < parent->key)
		{
			parent->left = cur;
		}
		else
		{
			parent->right = cur;
		}
		return true;
	}
	//中序遍历（递归）
	void InOrder()
	{
		_InOrder(root);
		cout << endl;
	}
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return;
		}
		else
		{
			_InOrder(root->left);
			cout << root->key <<" ";
			_InOrder(root->right);
		}
	}
	//二叉搜索树的查找
	Node* Find(const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return nullptr;
		}
		Node* cur = root;//遍历结点
		while (cur)
		{
			//小于往左走
			if (cur->key > key)
			{
				cur = cur->left;
			}
			else if (cur->key < key)
			{
				cur = cur->right;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}
	//二叉搜索树的删除
	bool Erase(const K& key)
	{
		//树为空，删除失败
		if (root == nullptr)
		{
			return false;
		}
		//parent始终是cur的父亲节点
		//cur就是要找的删除的当前节点
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = root;
		while (cur)
		{
			//小于往左边走
			if (key < cur->key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->left;
			}
			else if (key > cur->key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->right;
			}
			else
			{
				// 找到了，开始删除
				// 1.左右子树都为空，直接删除，可以归类为左为空
				// 2.左右子树只有一边为空，左为空，父亲指向我的右，右为空，父亲指向我的左  
				// 3.左右子树都不为空，取左子树最大的节点或右子树最小的节点和要删除的节点交换，然后再删除

				//当前情况是情景三，删除的节点它的左为空，右未知
				if (cur->left == nullptr)
				{
					// 要删除节点为根节点时，直接把右子树的根节点赋值给——root
					// 根节点的话会导致parent为nullptr
					if (root == cur)
					{
						root = root->right;
					}
					else
					{
						//左为空，父亲指向我的右
						//判断cur在父亲的左还是右
						if (parent->left == cur)
						{
							parent->left = cur->right;
						}
						else
						{
							parent->right = cur->right;
						}

					}
					delete cur;
					cur = nullptr;

				}
				//当前情况是情景二，删除节点它的右为空，左未知
				else if (cur->right == nullptr)
				{
					if (root ==cur )
					{
						root = root->left;
					}
					else
					{
						//右为空，父亲指向我的左
						//判断cur在父亲的左还是右
						if (parent->left == cur)
						{
							parent->left = cur->left;
						}
						else
						{
							parent->right = cur->left;
						}
					}
					delete cur;
					cur = nullptr;
				}
				//只剩下情景四
				else
				{
					//找右子树中最小的节点，当前cur就是要删除的节点
					Node* rightMinParent = cur;
					Node* rightMin = cur->right;//去右子树找最小的节点
					while (rightMin->left)
					{
						rightMinParent = rightMin;
						rightMin = rightMin->left;
					}
					//替代删除
					cur->key = rightMin->key;
					//转化成了情景三，左孩子为空
					if (rightMinParent->left == rightMin)
						rightMinParent->left = rightMin->right;
					else
						rightMinParent->right = rightMin->right;

					delete rightMin;
					rightMin = nullptr;
				}
				return true;
			}
		}
		return false;
	}
private:
	Node* root = nullptr;
};
void TestBSTree()
{
	BST_Tree<int> bt;
	int arr[] = { 5,3,4,1,7,8,2,6,0,9 };
	for (auto e : arr)
	{
		cout << "插入 " << e << " 后：";
		bt.Insert(e);
		bt.InOrder();
	}

	cout << "------------------------------" << endl;
	for (auto e : arr)
	{
		cout << "删除 " << e << " 后：";
		bt.Erase(e);
		bt.InOrder();
	}

}
int main()
{
	TestBSTree();
	system("pause");
	return EXIT_SUCCESS;
}

二叉搜索树的应用

二叉搜索树有两种模型：

• K模型： K模型只有key值，节点只存储key值。这里主要应用就是查找判断某个元素在不在。
• KV模型： KV模型每个key值都对应着一个value，主要应用就是通过key找value。（我们平时查找单词就是通过中文找英文，或者通过英文找中文）

上面的测试代码是KV模型改成了K模型，接下来我们来看看KV模型的作用

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream> //引入头文件
#include<string>//C++中的字符串
using namespace std; //标准命名空间
template <class K,class V>
struct  BST_Node
{
	BST_Node<K,V>* left;
	BST_Node<K,V>* right;
	K key;
	V value;
	//构造函数
	BST_Node(const K& key, const V& value):left(nullptr),right(nullptr),key(key),value(value)
	{}
};
template <class K,class V>
class BST_Tree
{
	typedef BST_Node<K,V> Node;
public:
	//二叉搜索树的插入
	bool Insert(const K& key,const V& value)
	{
		//没有节点的时候就是根节点
		if (root == nullptr)
		{
			root = new Node(key,value);
			return true;
		}
		//用一个父节点记录cur的上一个节点
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = root;
		while (cur)
		{
			parent = cur;
			//小于往左走
			if (key < cur->key)
			{
				cur = cur->left;
			}
			else if (key > cur->key)
			{
				cur = cur->right;
			}
			else
				return false;
		}
		cur = new Node(key,value);
		//判断应该插在父节点的左边还是右边
		if (cur->key < parent->key)
		{
			parent->left = cur;
		}
		else
		{
			parent->right = cur;
		}
		return true;
	}
	//中序遍历（递归）
	void InOrder()
	{
		_InOrder(root);
		cout << endl;
	}
	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return;
		}
		else
		{
			_InOrder(root->left);
			cout << root->key << ":" << root->value << endl;
			_InOrder(root->right);
		}
	}
	//二叉搜索树的查找
	Node* Find(const K& key)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return nullptr;
		}
		Node* cur = root;//遍历结点
		while (cur)
		{
			//小于往左走
			if (cur->key > key)
			{
				cur = cur->left;
			}
			else if (cur->key < key)
			{
				cur = cur->right;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}
	//二叉搜索树的删除
	bool Erase(const K& key)
	{
		//树为空，删除失败
		if (root == nullptr)
		{
			return false;
		}
		//parent始终是cur的父亲节点
		//cur就是要找的删除的当前节点
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = root;
		while (cur)
		{
			//小于往左边走
			if (key < cur->key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->left;
			}
			else if (key > cur->key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->right;
			}
			else
			{
				// 找到了，开始删除
				// 1.左右子树都为空，直接删除，可以归类为左为空
				// 2.左右子树只有一边为空，左为空，父亲指向我的右，右为空，父亲指向我的左  
				// 3.左右子树都不为空，取左子树最大的节点或右子树最小的节点和要删除的节点交换，然后再删除

				//当前情况是情景三，删除的节点它的左为空，右未知
				if (cur->left == nullptr)
				{
					// 要删除节点为根节点时，直接把右子树的根节点赋值给——root
					// 根节点的话会导致parent为nullptr
					if (root == cur)
					{
						root = root->right;
					}
					else
					{
						//左为空，父亲指向我的右
						//判断cur在父亲的左还是右
						if (parent->left == cur)
						{
							parent->left = cur->right;
						}
						else
						{
							parent->right = cur->right;
						}

					}
					delete cur;
					cur = nullptr;

				}
				//当前情况是情景二，删除节点它的右为空，左未知
				else if (cur->right == nullptr)
				{
					if (root ==cur )
					{
						root = root->left;
					}
					else
					{
						//右为空，父亲指向我的左
						//判断cur在父亲的左还是右
						if (parent->left == cur)
						{
							parent->left = cur->left;
						}
						else
						{
							parent->right = cur->left;
						}
					}
					delete cur;
					cur = nullptr;
				}
				//只剩下情景四
				else
				{
					//找右子树中最小的节点，当前cur就是要删除的节点
					Node* rightMinParent = cur;
					Node* rightMin = cur->right;//去右子树找最小的节点
					while (rightMin->left)
					{
						rightMinParent = rightMin;
						rightMin = rightMin->left;
					}
					//替代删除
					cur->key = rightMin->key;
					//转化成了情景三，左孩子为空
					if (rightMinParent->left == rightMin)
						rightMinParent->left = rightMin->right;
					else
						rightMinParent->right = rightMin->right;

					delete rightMin;
					rightMin = nullptr;
				}
				return true;
			}
		}
		return false;
	}
private:
	Node* root = nullptr;
};
int main()
{
	system("pause");
	return EXIT_SUCCESS;
}

实例1

英汉字典

void TestBSTree_KV1()
{
	// 创建一个简易的字典
	BST_Tree<string, string> dict;

	dict.Insert("苹果", "apple");
	dict.Insert("香蕉", "banana");
	dict.Insert("橘子", "orange");
	dict.Insert("葡萄", "grape");
	dict.Insert("apple", "苹果");
	dict.Insert("banana", "香蕉");
	dict.Insert("orange", "橘子");
	dict.Insert("grape", "葡萄");

	string str;
	while (cin >> str)
	{
		BST_Node<string, string>* ret = dict.Find(str);
		if (ret)
		{
			cout << ret->value << endl;
		}
		else
		{
			cout << "本字典无此词" << endl;
		}
	}
}

实例2

统计树

void TestBSTree_KV2()
{
	// 统计水果个数
	BST_Tree<string, int> countTree;

	string strArr[] = { "香蕉","水蜜桃","西瓜","苹果","香蕉" ,"西瓜","香蕉" ,"苹果","西瓜","苹果","苹果","香蕉" ,"水蜜桃" };

	for (auto e : strArr)
	{
		BST_Node<string, int>* ret = countTree.Find(e);
		if (ret == nullptr)
		{
			// 第一次插入
			countTree.Insert(e, 1);
		}
		else
		{
			ret->value++;
		}
	}

	countTree.InOrder();
}