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引子：AVL树是因为什么出现的？
- 二叉搜索树可以缩短查找的效率，如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下时间复杂度：O(N)
两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年 发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(对树中的结点进行调整),即为AVl树以他们的名字缩写命名也可以叫高度二叉搜索树
1.AVl树的的特性
一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树，它就是AVL树。
- 它的左右子树都是AVL树
- 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)，节点右子树最长路径-左子树最长路径
如果AVl树有n个结点，其高度可保持在O(logN) ，搜索时间复杂度O(logN),为什么？
答：左右子树高度之差的绝对值不超过1，那么只有最后一层会差一部分的节点；
2.AVl树的框架
template<class K, class V> struct AVLtreeNode { //节点构造函数 AVLtreeNode(const pair<K, V>& kv) :_left(nullptr) ,_right(nullptr) ,_parent(nullptr) ,_bf(0) ,_kv(kv) {} //节点的成员 //三叉链 AVLtreeNode<K, V>* _left; AVLtreeNode<K, V>* _right; AVLtreeNode<K, V>* _parent; int _bf;//平衡因子 //数据使用库里面的pair类存储的kv pair<K, V> _kv; }; template<class K,class V> class AVLtree { typedef AVLtreeNode<K, V> Node; public: //构造函数 AVLtree() :_root(nullptr) {} //四种旋转 void RotateL(Node* parent) void RotateR(Node* parent) void RotateLR(Node* parent) void RotateRL(Node* parent) //插入 bool Insert(const pair<K, V>& kv) //寻找 Node* Find(const K& kv) private: Node* _root; };
三叉链是什么？
3.AVL树的插入
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = _root, *cur = _root;
while (cur)
{
//找nulptr，如果已经有这个key了，二叉搜索树的特性不支持冗余，所以返回失败
if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else if (cur->_kv.first <kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else
{
return false;
}
}
//
cur = new Node(kv);
//判断孩子在父亲的左边还是右边
if (cur->_kv.first > parent->_kv.first)
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
while (parent)
{
//影响一条路径所有的祖先
if (parent->_right == cur)
parent->_bf++;
else
parent->_bf--;
if (parent->_bf == 0)
{
//左右平衡了不会再影响祖先了
break;
}
if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
//当前节点所在子树变了，会影响父亲
// 继续往上更新
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
//parent所在子树已经不平衡，需要旋转处理一下
if (parent->_bf == -2)
{
if (cur->_bf == -1)
// 右单旋
RotateR(parent);
else // cur->_bf == 1
RotateLR(parent);
}
else // parent->_bf == 2
{
if (cur->_bf == 1)
// 左单旋
RotateL(parent);
else // cur->_bf == -1
RotateRL(parent);
}
break;
}
else
{
// 插入节点之前，树已经不平衡了，或者bf出错。需要检查其他逻辑
assert(false);
}
}
return true;
}插入整体逻辑：
- 如果还没有元素是一课空树，直接插入即可；如果有元素，按pair的first(key)和比较的节点比较结果为大说明为空的哪个位置在右边，和比较的节点比较的结果小说明为空的哪个位置在左边，如果相等说明已经有这个元素了，二叉搜索树不支持冗余返回一个pair类第一个成员为那个相同元素的map的迭代器和第二个成员为false的pair类迭代器；
- 不知道这个已经找到的位置在父节点的左边还是右边，需要判断一下，然后插入元素；
- 插入元素的后那么平衡因子将发生变化，为0说明这个父亲节点左右平衡不会影响其他节点，为1或者-1需要向上调整，为2或者-2说明已经不平衡需要旋转；
- 节点右子树最长路径-左子树最长路径，右边插入节点就+，左边插入节点就-；
3.1四种旋转（左单旋、右单旋、左右双旋、右左双旋）
3.1.1左单旋
- 调用函数是传的参数是轴点
- 要保留轴点的父亲，以及调整三叉链
- 调整后原来的孩子和父亲（轴点）的平衡因子都置为0；
void RotateR(Node* parent)
{
//轴点的左，孩子节点
Node* subL = parent->_left;
//孩子节点的右
Node* subLR = subL->_right;
//我的右当你（轴点）的左
parent->_left = subLR;
//调整三叉链
if (subLR)
subLR->_parent = parent;
//你（轴点）做我的右
subL->_right = parent;
//调整三叉链
Node* parentParent = parent->_parent;
parent->_parent = subL;
if (parent == _root)
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else
{
//轴点的父亲新的孩子节点
if (parentParent->_left == parent)
parentParent->_left = subL;
else
parentParent->_right = subL;
subL->_parent = parentParent;
}
subL->_bf = parent->_bf = 0;
}
3.1.2右单旋
- 调用函数是传的参数是轴点
- 要保留轴点的父亲，以及调整三叉链
- 调整后原来的孩子和父亲（轴点）的平衡因子都置为0；
void RotateL(Node* parent)
{
//轴点的右，孩子节点
Node* subR = parent->_right;
//孩子节点的左
Node* subRL = subR->_left;
//我的左当你（轴点）的右
parent->_right = subRL;
//调整三叉链
if (subRL)
{
subRL->_parent = parent;
}
//你（轴点）做我的左
subR->_left = parent;
Node* parentparent = parent->_parent;
parent->_parent = subR;
if (parent == _root)
{
if (parentparent->_left == parent)
parentparent->_left = subR;
else
parentparent->_right = subR;
subR->_parent = parentparent;
}
else
{
subR->_parent = nullptr;
_root = subR;
}
subR->_bf = parent->_bf = 0;
} 
3.1.3左右双旋
- 调用左单旋是传的参数是轴点1，右单旋传的轴点2
- 平衡因子分3种情况，依靠3个被改变节点中最后一个来判断
void RotateLR(Node* parent)
{
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
// ...平衡因子调节还需要具体分析
if (bf == -1)
{
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
subLR->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
subLR->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
依靠3个被改变节点中最后一个来判断
3.1.4右左双旋
- 调用右单旋是传的参数是轴点1，左单旋传的轴点2
- 平衡因子分3种情况，依靠3个被改变节点中最后一个来判断
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
// 平衡因子更新
if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
}
else if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
总结
- 调用旋转的实参是轴点
- 左单旋：我的左当你的右，你（轴点）当我的左
- 右单旋：我的右当你的左，你（轴点）当我的右