【随机过程】随机过系列之特征函数、宽平稳与平稳独立增量

1. 特征函数

随机过程常见表示方式：${X(t); t \in T}$，有四个特征函数，见下表。

特征函数	表达式	理解
均值函数	$\mu_X(t) = E[X(t)]$	相当于随机变量的均值，知当t确定时$X(t)$是一个随机变量，也就可以求期望，当t不同时，对应的期望也会随t的变动而变动，所以称之为函数。
方差函数	$Var[X(t)] = E[(X(t)-\mu(t))]^2$	理解方式同均值函数
相关函数	$R(t_1, t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]]$	同一个随机过程两个时刻随机变量乘积的期望
协方差函数	$\gamma(t_1, t_2)=E{[X(t_1)-\mu(t_1)][X(t_2)-\mu(t_2)]} = R(t_1, t_2)-\mu(t_1)\mu(t_2)$	表示同一个随机过程两个随机变量的相关性大小，可以转换为相关函数的表达式

由题意可知，A服从正太分布，B服从均匀分布，直接带入对应的特征函数公式即可，要注意2处的t的条件范围，4处方差和均值之间的转换以及5处相关函数和协方差函数的转换。

平稳即随着时间的变化却保持不变，不同的统计性质会有不一样的平稳。

考察随机过程是否为宽平稳从以下角度进行：二阶矩存在（方差和期望存在），均值函数为常数：

【随机过程】随机过系列之特征函数、宽平稳与平稳独立增量

振幅调制过程：$X(t) = A(t)cos(2\pi f_0t+\theta)$，其中振幅调制函数A(t)是随机的，相位调制函数中的θ在(0, 2$\pi$)上均匀分布，二者相互独立($\theta$和$t$无关)，判断其是否为宽平稳。

通过一阶矩考察条件一是否满足 $E(X) = E(A(t))E(cos(2\pi f_0t+\theta)) = E(A(t) = \int_0^{2\pi}frac{1}{2\pi}cos(2\pi f_0t+\theta))d\theta =0$
通过二阶矩（相关性$R_X(t, s)$）考察满足条件二 $R_X(t, s) = E(A(t)A(s))E(cos(2\pi f_0t+\theta)(cos(2\pi f_0s+\theta))$ (上一步到下一步运用的是积化和差) $= E(A(t)A(s))\frac{1}{2}(E(cos(2\pi f_0(t+s)+2\theta) + E(cos(2\pi f_0(t-s))$ （巧妙的转化出了$2\theta$，即最终$cos(2\pi f_0(t+s)+2\theta)$一定为0） $= \frac{1}{2}E(A(t)A(s))cos(2\pi f_0(t-s))$ （所以最终落脚点在于$E(A(t)A(s))$是否为宽平稳，如果是，则可以推出下式） $=\frac{1}{2}R_A(t-s)cos(2\pi f_0(t-s))$（完毕）