一阶微分方程
一阶微分方程一般有五种解法：可分离变量的方程；齐次微分方程；一阶线性微分方程；伯努利方程；全微分方程
如果给定的一阶微分方程不属于上述五种标注形式，首先考虑将$x,y$对调，即认定$x$为$y$的函数，再判断新方程的类型；或者利用简单的变量代换将其化为上述五种类型之一而求解
微分方程求解
例8：微分方程$ydx+(x-3y^{2})dy=0$满足条件$y \Big|_{x=1}^{}=1$的解为$y=()$
这里用偏积分的方式求解
设$y=f(x)$，即有$g(x,y)=0$，依据题意，由于
$$
\frac{\partial y}{\partial y}=1,\frac{\partial z-3y^{2}}{\partial x}=1
$$
因此可以用偏积分的方式
$$
\begin{aligned}
dg(x,y)&=ydx\
\int\limits_{}dg(x,y)&=\int\limits_{}ydx\
g(x,y)&=xy+\phi(y)\
&代入另一个\
\frac{\partial g(x,y)}{\partial y}&=x+\phi'(y)=x-3y^{2}\
\phi'(y)&=-3y^{2}\
\phi(y)&=-y^{3}
\end{aligned}
$$
因此可得
$$
g(x,y)=xy-y^{3}=0
$$
有
$$
y=0或y=\sqrt{x}
$$
又因为$\begin{aligned} y \Big|_{x=1}^{}=1\end{aligned}$，因此$y=\sqrt{x}$
高阶偏导数
定理：如果函数$z=f(x,y)$的两个混合偏导数在区域$D$/某点内连续，则在该区域内/该点
$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x}
$$
对于二元以上的函数，也可以类似地定义二阶或者更高阶偏导数，且二阶与高阶混合偏导数连续时，混合偏导数的值与求导次序无关
全微分
定义：如果函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处的全增量
$$
\Delta z=f(x_{0}+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})
$$
可表示为
$$
\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho)
$$
其中$A,B$与$\Delta x,\Delta y$无关，$\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$，则称函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处可微，而$A \Delta x+B \Delta y$称为函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处的全微分，记为
$$
dz=A \Delta x+B \Delta y
$$
如果$f(x,y)$在区域$D$内的每一点$(x,y)$都可微分，则称$f(x,y)$在$D$内可微分
偏导数计算
先带后求明显比定义法更方便，因为带完后原本二元函数变为一元函数，一元函数看导数是否存在是方便的
可导与可微
$\begin{aligned} f(x,y)=\left{\begin{aligned}& \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}&(x,y)\ne (0,0)\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.\end{aligned}$在$(0,0)$点可导，但不可微
$$
\begin{aligned}
f_{x}(0,0)&=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta x \cdot 0}{\sqrt{(\Delta x)^{2}}}=1\
f_{y}(0,0)&=1
\end{aligned}
$$
显然可导
$$
\begin{aligned}
&\lim\limits_{\substack{\Delta x \to 0\ \Delta y\to 0}}\frac{\frac{\Delta x \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}-0-(1\cdot \Delta x+1\cdot \Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\
=&\lim\limits_{\substack{\Delta x \to 0\ \Delta y\to 0}}\frac{\Delta x \Delta y-(\Delta x+\Delta y)\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}\
=&\lim\limits_{\substack{\Delta x\to 0\ \Delta y=k \Delta x}}\frac{[k-(k+1)\sqrt{k^{2}+1}] (\Delta x)^{2}}{(k^{2}+1)(\Delta x)^{2}}\ne 0
\end{aligned}
$$
显然不可微
全微分形式的不变性
设函数$z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)$都有连续的一阶偏导数，则复合函数$z=f[u(x,y),v(x,y)]$的全微分
$$
\begin{aligned}
dz&=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}y=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv
\end{aligned}
$$
即，不论把函数$z$看做自变量$x,y$的函数，还是看做中间变量$u,v$的函数，函数$z$的全微分形式都是一样的
隐函数微分法
由方程组
$$
\left{\begin{aligned}&F_{1}(x,y,u,v)=0\&F_{2}(x,y,u,v)=0\end{aligned}\right.
$$
确定的隐函数$u=u(x,y),v=(x,y)$
若要求$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\end{aligned}$，可以将每个方程分别对$x$求偏导数，得出以$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}\end{aligned}$为变量的方程组，可解得$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial x}\end{aligned}$。同样，将每个方程分别对$y$求偏导数，可以得出以$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial y}\end{aligned}$为变量的方程组，解之可得$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial y}\end{aligned}$
隐函数的偏导
如果实在不会用定理2判断隐函数的自变量和因变量，可以根据题目提问看谁是因变量，例如下题，显然是$u$，谁是自变量，例如下题，显然是$x,y$
例6：已知$u+e^{u}=xy$，求$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\end{aligned}$