0x00 前言
0x01 关于其命名
最开始出现在 Codeforces Round #449 (Div. 1) C题 上，这位珂学家在题解中用了一种玄学的数据结构解题，开始命名为 ODT树（Old Driver Tree，老司机树，以出题者的ID命名），后来普遍称为珂朵莉树。
0x02 能解决的问题
珂朵莉树用于解决含有区间平推操作（即将区间上的数全部变为一个数）的问题时卓有成效，在数据随机的情况下，用 set 实现复杂度为 \(O(N \ log \ log \ N)\)，用链表实现复杂度为 \(O(N \ log \ N)\)，比同类问题其他算法更优。时间复杂度证明请移步这篇文章。
0x03 前置知识
0x10 正文
本文使用 Codeforces Round #449 (Div. 1) C题 作为例题讲解珂朵莉树。
0x11 题意
-- 威廉...
-- 怎么了？
-- 瑟尼欧里斯好像出了什么问题...
-- 我会看看的...
瑟尼欧里斯是一把由特殊护符按特定顺序排列组成的剑。
已经 \(500\) 年过去了，现在剑的状态很差，所以威廉决定检查一下。
瑟尼欧里斯由 \(n\) 片护符组成，威廉把它们排成一列，每个护符上有一个数字 \(a_i\)。
为了保养它，威廉需要进行 \(m\) 次操作。
这里有四种操作：
- \(1 \ l \ r \ x\) : 将区间 \([l, r]\) 上的数加上 \(x\)。
- \(2 \ l \ r \ x\) : 将区间 \([l, r]\) 上的数全部变为 \(x\)。
- \(3 \ l \ r \ x\) : 查询区间 \([l, r]\) 的第 \(x\) 大数。
- \(4 \ l \ r \ x \ y\) : 查询区间 \([l, r]\) 上的数的 \(x\) 次方之和对 \(y\) 取模的值。
本题输入较为特殊，输入格式如下：
一行四个整数，分别为 \(n\)，\(m\)，\(seed\)，\(vmax\)，前两个变量意义如题目所述，后两个变量用于生成随机数据，数据生成伪代码如下
def rnd():
ret = seed
seed = (seed * 7 + 13) mod 1000000007
return ret
for i = 1 to n:
a[i] = (rnd() mod vmax) + 1
for i = 1 to m:
op = (rnd() mod 4) + 1
l = (rnd() mod n) + 1
r = (rnd() mod n) + 1
if (l > r):
swap(l, r)
if (op == 3):
x = (rnd() mod (r - l + 1)) + 1
else:
x = (rnd() mod vmax) + 1
if (op == 4):
y = (rnd() mod vmax) + 1
0x12 珂朵莉树基本思路
由于数据随机，所以在区间平推操作中区间长度普遍不会太短，所以区间总个数不会太多，于是我们就考虑维护每一个这样连续的区间，区间中的数都相同。
0x13 结构体定义
用一个结构体来维护每一个区间的信息。
struct node {
ll l, r; //区间左右端点
mutable ll v; //区间单个元素值
node(ll l, ll r, ll v) : l(l), r(r), v(v) {}
bool operator< (const node &a) const { return l < a.l; }
};
在上述定义中有下面一点需要注意：
- 因为元素值并不是固定的，所以一定要用 mutabel 让元素值可变起来
0x14 初始化
#include<set>
set<node> tree;
这样你就得到了一颗啥也没有的珂朵莉树。
0x15 spilt操作
因为一个区间上的数不一定自始至终都是一样的，所以我们需要一个分割函数将区间分隔开，这就是 spilt 函数。
这个操作是珂朵莉树的核心操作之一，此函数有一个参数，表示要分裂的位置，我们先看代码，再解释它的运作过程。
auto spilt(ll pos) {
auto it = tree.lower_bound(node(pos, 0, 0));
if(it != tree.end( ) && it -> l == pos) return it;
it--;
ll l = it -> l, r = it -> r, v = it -> v;
tree.erase(it);
tree.insert(node(l, pos - 1, v));
return tree.insert(node(pos, r, v)).first;
}
首先，我们要找到一个左端点大于等于 \(pos\) 的区间，用一个迭代器指向它（注意，如果你使用的是c++11，auto 必须要换成 set<node>::iterator），如果当前区间的左端点等于 \(pos\) （并且这个区间要存在）那就说明当前区间不用分割，直接返回当前迭代器，否则就向前跳转到前一个区间，并将其分割为 \([l, pos - 1]\) 和 \([pos, r]\) 两个区间。
0x16 assgin操作
珂朵莉树的核心操作之二，也就是区间平推操作。
有了 spilt 函数，我们的实现也简单了很多，依旧是对着代码解释。
void assgin(ll l, ll r, ll v) {
auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l);
tree.erase(start, end);
tree.insert(node(l, r, v));
}
实现思路没什么好讲的，无非就是断开需要赋值的区间，全部删除再加入一个新的区间，重点在 spilt 的顺序上。
看上去貌似和顺序没什么关系，如果单从逻辑上看确实如此，但是如果从实现上去看就会发现问题。
假设我们要从区间 \([1, 10]\) 里截取出 \([3, 7]\)，我们先执行 spilt(1)，现在 start 迭代器指向的是区间 \([3, 10]\)，然后我们再执行 spilt(8)，end 则指向了区间 \([8，10]\)，此时我们发现 start 指向的迭代器被第二次 spilt 操作 erase 掉了，所以调用时可能会 RE。（之所以是可能，是因为这东西比较玄学，有可能一会 RE，一会 AC，为了避免这种麻烦，还是规范写法较为稳妥）
如果还是不理解，就结合下图再多看几遍上一段。
0x17 其他代码实现
核心代码就上面两个，剩下的乱搞就行。
void add(ll l, ll r, ll x) { //区间加操作
auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l);
for(auto it = start; it != end; it++)
it -> v += x; //mulable的作用在此
}
struct Rank {
ll num, cnt; // 值与数量
Rank(ll num, ll cnt) : num(num), cnt(cnt) {}
bool operator< (const Rank &a) const { return num < a.num; }
};
ll get_rank(ll l, ll r, ll x) { //求区间第 x 大数
auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l);
vector<Rank> vec;
for(auto it = start; it != end; it++) vec.push_back(Rank(it -> v, it -> r - it -> l + 1));
sort(vec.begin( ), vec.end( )); //将区间上的所有数排序，以便后续暴力查找
int i;
for(i = 0; i < vec.size( ); i++) {
if(vec[i].cnt < x) x -= vec[i].cnt;
else break;
}
return vec[i].num;
}
ll get_power(ll l, ll r, ll x, ll y) { //求区间 x 次方和 mod y 的值
auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l);
ll ans = 0;
for(auto it = start; it != end; it++) ans = (ans + power(it -> v, x, y) * (it -> r - it -> l + 1) % y) % y; //power 为快速幂函数
return ans;
}
0x17 完整代码
请在确保自己理解上述所有内容的情况下阅读
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1e9 + 7;
ll n, m, seed, vmax;
struct node {
ll l, r;
mutable ll v;
node(ll l, ll r, ll v) : l(l), r(r), v(v) {}
bool operator< (const node &a) const { return l < a.l; }
};
struct Rank {
ll num, cnt;
Rank(ll num, ll cnt) : num(num), cnt(cnt) {}
bool operator< (const Rank &a) const { return num < a.num; }
};
set<node> tree;
ll rnd( );
auto split(ll pos);
void add(ll l, ll r, ll x);
ll power(ll a, ll b, ll p);
void assgin(ll l, ll r, ll v);
ll get_rank(ll l, ll r, ll x);
ll get_power(ll l, ll r, ll x, ll y);
int main( ) {
cin >> n >> m >> seed >> vmax;
for(int i = 1; i <= n; i++) tree.insert(node(i, i, rnd( ) % vmax + 1));
for(int i = 1; i <= m; i++) {
ll op, l, r, x, y;
op = rnd( ) % 4 + 1;
l = rnd( ) % n + 1;
r = rnd( ) % n + 1;
if(l > r) swap(l, r);
if(op == 3) x = rnd( ) % (r - l + 1) + 1;
else x = rnd( ) % vmax + 1;
if(op == 4) y = rnd( ) % vmax + 1;
if(op == 1) add(l, r, x);
if(op == 2) assgin(l, r, x);
if(op == 3) cout << get_rank(l, r, x) << endl;
if(op == 4) cout << get_power(l, r, x, y) << endl;
}
return 0;
}
auto spilt(ll pos) {
auto it = tree.lower_bound(node(pos, 0, 0));
if(it != tree.end( ) && it -> l == pos) return it;
it--;
ll l = it -> l, r = it -> r, v = it -> v;
tree.erase(it);
tree.insert(node(l, pos - 1, v));
return tree.insert(node(pos, r, v)).first;
}
void assgin(ll l, ll r, ll v) {
auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l);
tree.erase(start, end);
tree.insert(node(l, r, v));
}
void add(ll l, ll r, ll x) {
auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l);
for(auto it = start; it != end; it++)
it -> v += x;
}
ll get_rank(ll l, ll r, ll x) {
auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l);
vector<Rank> vec;
for(auto it = start; it != end; it++) vec.push_back(Rank(it -> v, it -> r - it -> l + 1));
sort(vec.begin( ), vec.end( ));
int i;
for(i = 0; i < vec.size( ); i++) {
if(vec[i].cnt < x) x -= vec[i].cnt;
else break;
}
return vec[i].num;
}
ll get_power(ll l, ll r, ll x, ll y) {
auto end = spilt(r + 1), start = spilt(l);
ll ans = 0;
for(auto it = start; it != end; it++) ans = (ans + power(it -> v, x, y) * (it -> r - it -> l + 1) % y) % y;
return ans;
}
ll power(ll a, ll b, ll p) {
ll res = 1, base = a % p;
while(b) {
if(b & 1) res = (res * base) % p;
base = (base * base) % p;
b >>= 1;
}
return res;
}
ll rnd( ) {
ll res = seed;
seed = (seed * 7 + 13) % MOD;
return res;
}
0x18 小结
珂朵莉树的核心其实就二十行左右的代码，并不是什么很难得算法，但是由于其对于数据的要求，很少有题将其作为正解，但是考场骗分还是很有用的。
0x19 习题
- CF915E Physical Education Lessons
- P4344 [SHOI2015]脑洞治疗仪
- P3740 [HAOI2014]贴海报
- P4979 矿洞：坍塌
- CF343D Water Tree（涉及到树链剖分）
0x20 后记
本文是本蒟蒻近期学习了珂朵莉树，为了巩固所以写下了这篇学习笔记，如果有纰漏请指出。
另外感谢本文用到的所有资料的提供者。