一、微分中值定理
定理1（费马引理）：如果函数$f(x)$在$x_{0}$处可导，且在$x_{0}$处取得极值，那么$f'(x_{0})=0$
定理2（罗尔定理）：
若
-
$f(x)$在$[a,b]$上连续
-
$f(x)$在$(a,b)$可导
-
$f(a)=f(b)$
则存在$\xi\in(a,b)$，使$f'(\xi)=0$
定理3（拉格朗日中值定理）：
若
-
$f(x)$在$[a,b]$上连续
-
$f(x)$在$(a,b)$可导
则存在$\xi\in(a,b)$，使
$$
\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)
$$
定理4（柯西中值定理）：
若
-
$f(x),F(x)$在$[a,b]$上连续
-
$f(x),F(x)$在$(a,b)$可导，且$F'(x)\ne0$
则存在$\xi\in(a,b)$，使
$$
\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}
$$
微分中值定理本质上是为了建立导数与函数的联系，因此题目中如果都是函数的条件，问导数，或者反过来，考虑使用微分中值定理
定理5（皮亚诺型余项泰勒公式）
设$f(x)$在$x_{0}$点$n$阶可导，那么
$$
f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)
$$
其中
$$
R_{n}(x)=o(x-x_{0})^{n},(x\to x_{0})
$$
若$x_{0}=0$，则得麦克劳林公式
$$
f(x)=f(0)-f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n}+R_{n}(x)
$$
定理6（拉格朗日型余项泰勒公式）：
设$f(x)$在喊$x_{0}$的区间$(a,b)$内$n+1$阶可导，那么对$\forall x\in(a,b)$，至少存在一个$\xi$，使
$$
f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}+R_{n}(x)
$$
其中
$$
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1},\xi在x_{0}和x之间
$$
泰勒公式本质上建立了函数与高阶导数的关系，并且利用多项式逼近$f(x)$
皮亚诺型用于研究函数的局部形态，例如极限、极值；拉格朗日型用于研究函数的整体形态，例如最值、不等式
$$
\begin{aligned}
e^x&=1+x+\frac {x^2}{2!}+\cdots+\frac {x^n}{n!}+o(x^n)\
\ln(1+x)&=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\cdots+(-1)^{(n-1)}\frac1nx^n+o(x^n)\
(1+x)^\alpha&=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\
\sin x&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1})\
\cos x&=1-\frac1{2!}x^2+\frac1{4!}x^4-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})
\end{aligned}
$$
二、导数应用
单调性
定理7（函数的单调性）：
设$f(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导
-
若在$(a,b)$内$f'(x)>0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调增
-
若在$(a,b)$内$f'(x)<0$，则$f(x)$在$[a,b]$上单调减
极值
定义（函数的极值）：
若$\exists \delta>0$，使得
-
$\forall x\in U(x_{0},\delta)$恒有$f(x)\geq f(x_{0})$，则称$f(x)$在$x_{0}$取得极小值
-
$\forall x\in U(x_{0},\delta)$恒有$f(x)\leq f(x_{0})$，则称$f(x)$在$x_{0}$取得极大值
在端点处不能取得极值，极值的定义是邻域
定理8（极值的必要条件）：
若$f(x)$在$x_{0}$处可导，且在$x_{0}$处取得极值，则$f'(x_{0})=0$
导数值等于零的点被称为驻点
极值不一定是驻点，例如，对于$|x|$，当$x=0$时，是极值点但不是驻点
驻点不一定是极值点，例如，对于$x^{3}$，当$x=0$时，是驻点但不是极值点
因此，极值点只可能在$f'(x_{0})=0$或$f'(x_{0})$不存在的点
定理9（极值的第一充分条件）：
设$f(x)$在$\mathring{U}(x_{0},\delta)$内可导，且$f'(x_{0})=0$（或$f(x)$在$x_{0}$处连续）
-
若$x<x_{0}$时，$f'(x)\geq0$；$x>x_{0}$时，$f'(x)\leq0$，则$f$在$x_{0}$处取极大值
-
若$x<x_{0}$时，$f'(x)\leq0$；$x>x_{0}$时，$f'(x)\geq0$，则$f$在$x_{0}$处取极小值
-
若$f'(x)$在$x_{0}$的两侧不变号，则$f$在$x_{0}$无极值
该定理可以用于$f'(x_{0})=0$，还可以是在$x_{0}$处导数不存在，但是函数连续，例如$|x|$当$x=0$时，依旧可以使用
定理10（极值的第二充分条件）：
设$f'(x_{0})=0,f''(x_{0})\ne0$
-
当$f''(x_{0})<0$，$f(x)$在$x_{0}$处取极大值
-
当$f''(x_{0})>0$，$f(x)$在$x_{0}$处取极小值
最值
求连续函数$f(x)$在$[a,b]$上的最值
-
求出$f(x)$在$(a,b)$内的驻点和不可导的点$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$
-
求出函数值$f(x_{1}),f(x_{2}),\cdots,f(x_{n}),f(a),f(b)$
-
比较以上各点函数值
注：若连续函数$f(x)$在$(a,b)$内仅有唯一极值点，则不需要作比较
对于最大最小值的应用题，在上述步骤之前建立目标函数即可
凹凸性
定义3：
凹
$$
f( \frac{x_{1}+x_{2}}{2})<\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{2}
$$
凸
$$
f( \frac{x_{1}+x_{2}}{2})>\frac{f(x_{1})-f(x_{2})}{2}
$$
定理11：
若区间$I$上$f''(x)>0$，则曲线$y=f(x)$在$I$上是凹的
若区间$I$上$f''(x)<0$，则曲线$y=f(x)$在$I$上是凸的
定义4（拐点）：
曲线上凹凸性发生变化的点
极值点只有$x$值，拐点是个坐标
拐点判定（必要条件与充分条件），只需要将极值点的定理关于导数抬高一阶即可
定理12（拐点的必要条件）：
设$y=f(x)$在点$x_0$处二阶可导，且点$(x_0,f(x_0))$为曲线的拐点，则$f''(x_0)=0$
定理13（拐点的第一充分条件）：
设$y=f(x)$在点$x_0$的某去心领域内二阶可导，且$f''(x_0)=0$（或$f(x)$在$x_0$处连续）
-
若$f''(x)$在$x_0$的左、右两侧异号，则点$(x_0,f(x_0))$是曲线$y=f(x)$的拐点
-
$f''(x)$在$x_0$的左、右两侧同号，不是拐点
定理14（拐点的第二充分条件）：
设$y=f(x)$在点$x_0$处三阶可导，且$f''(x_0)=0$，若$f'''(x_0)\ne0$，则点$(x_0,f(x_0))$是曲线$y=f(x)$的拐点
渐近线
若
$$
\lim_{x\to \infty}f(x)=A(\lim_{x\to -\infty}f(x)=A或\lim_{x\to +\infty}f(x)=A)
$$
那么$y=A$是曲线$y=f(x)$的水平渐近线
水平渐近线判断有无，先看有没有无穷函数
若
$$
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\infty
$$
那么$x=x_{0}$是$y=f(x)$的垂直渐近线
若
$$
\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=a,b=\lim_{x\to \infty}(f(x)-ax)
$$
那么$y=ax+b$是$y=f(x)$的斜渐近线
对于$-\infty$和$+\infty$，如果某一侧已经存在水平渐近线或斜渐近线，则该侧不会出现另一种渐近线
函数作图
-
定义域
-
一阶导数确定单调区间，确定极值
-
二阶导数确定凹凸区间，确定拐点
-
渐近线
曲线的弧微分与曲率
直角坐标系下的曲率公式
$$
K=\frac{|y''|}{(1+y'^{2})^{\frac{1}{2}}}
$$
曲率半径
$$
R=\frac{1}{K}
$$
常考题型与典型例题
求函数的极值和最值及确定曲线的凹项和拐点
例1：设函数$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续，判断$x=0$处是否是极值
由于$f'(x)$在$x=0$处无定义，因此$x=0$处可能是极值点
又因为**$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$内连续**，有$x-0>0,x+0<0$，即两端导数值变号，因此是极大值点
例2：已知$f(x)$在$x=0$的某个邻域连续，且$f(0)=0,\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$，判断在点$x=0$处$f(x)$是否可导，是否是极值
由题意知
$$
2=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\frac{1}{2}x^{2}}=2\lim_{x\to0}(\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{1}{x})
$$
显然$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\to \infty,\lim\limits_{x\to0}(\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{1}{x})\to1$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\to0$
根据$f(0)=0$，又有
$$
f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}\to0
$$
因此$x=0$处$f(x)$可导，导数为$0$
$$
\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2>0
$$
根据极限的保号性，在$0$的一个小去心邻域内
$$
\frac{f(x)}{1-\cos x}>0\Rightarrow f(x)>0=f(0)
$$
因此$x=0$处为极小值
例3：设$f(x)=|x(1-x)|$，判断$x=0$处是否是$f(x)$的极值点、拐点
$$
f(x)=\begin{cases}
-x(1-x)&,x<0 \
x(1-x)&,x\geq0
\end{cases}
$$
（注意此处只需要写$x=0$附近的分段函数，其他不关注）
显然$f(x)$在$x=0$处连续
$$
f'(x)=\begin{cases}
-1+2x&,x<0 \
1-2x&,x>0
\end{cases}
$$
（注意此处不需要关注$x=0$处的$f'(x)$值，如果保证函数在极值点可能出现的附近区域连续，则只需要判断该点去心邻域$f'(x)$的正负）
显然是极小值
$$
f''(x)=\begin{cases}
2&,x<0 \
-2&,x>0
\end{cases}
$$
（注意此处不需要关注$x=0$处的$f''(x)$值，如果保证函数在拐点可能出现的附近区域连续，则只需要判断该点去心邻域$f''(x)$的正负）
显然$(0,0)$是$f(x)$的拐点
渐近线
例4：求$y=x+\sin \frac{1}{x}$的渐近线
水平渐近线
当$x\to \infty$时，函数为$\infty+有界量$，显然无水平渐近线
垂直渐近线
当$x=0$时，函数无定义，此时$y$不趋向于无穷，显然五垂直渐近线
斜渐近线
$$
\lim_{x\to \infty} \frac{y}{x}=1=a,\lim_{x\to \infty}(y-ax)=\lim_{x\to \infty}\sin \frac{1}{x}=0=b
$$
因此存在斜渐近线$y=x$
推广：
设一个函数$f(x)$存在斜渐近线$y=ax+b$
对于$f(x)$上的任意一点$(x,f(x))$到斜渐近线$y=ax+b$的距离
$$
\lim_{x\to \infty}d=\frac{|f(x)-ax-b|}{\sqrt{1+a^{2}}}=0
$$
有
$$
\lim_{x\to \infty}f(x)-ax-b=0
$$
即，当$x\to \infty$
$$
f(x)=ax+b+\alpha(x),其中\alpha(x)\to0
$$
所以如果一个函数当$x\to \infty$，能被写成一个$线性函数+无穷小$的形式就有斜渐近线
对于本题$y=x+\sin \frac{1}{x}$，当$x\to \infty$，显然可以被写成$y=x+0$，因此存在斜渐近线$y=x$
例5：分析$y=\frac{1}{x}+\ln(1+e^{x})$渐近线的条数
水平渐近线
$$
\lim_{x\to -\infty}y=0\quad 注意e^{\infty}\ne \infty
$$
因此有水平渐近线$y=0$
垂直渐近线
$$
\lim_{x\to0}y=\infty
$$
因此有垂直渐近线$x=0$
斜渐近线，由于$-\infty$侧已经有水平渐近线，因此不需要考虑该侧
$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to+\infty} \frac{y}{x}&=\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(1+e^{x})}{x}=\lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{e^{x}}{1+e^{x}}}{1}=1=a\
\lim_{x\to+\infty}(y-ax)&=\lim_{x\to+\infty}(\ln(1+e^{x})-x)\
&此处可以选择把x变成\ln e^{x},也可以从前一项拆出x\
&=\lim_{x\to+\infty}\ln \frac{1+e^{x}}{e^{x}}=0=b
\end{aligned}
$$
因此有斜渐近线$y=x$
斜渐近线也可以用上面的推广方法
当$x\to+\infty$
$$
y=\ln [e^{x}(e^{-x}+1)]+ \frac{1}{x}=\underbrace{x}{线性函数}+\underbrace{\ln(e^{-x}+1)+ \frac{1}{x}}{无穷小}
$$
因此有斜渐近线$y=x$
方程的根
问零点的存在性考虑零点定理和原函数的罗尔定理
零点定理（使用条件是函数连续，端点值变号）
例6：求证方程$x+p+q\cos x=0$恰有一个实根，其中$p,q$为常数，且$0<q<1$
令$f(x)=x+p+q\cos x$
$$
\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty
$$
则存在$a<b$，使$f(a)<0,f(b)>0$
因此存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=0$，即$f(x)$有实根
又因为
$$
f'(x)=1-q\sin x>0
$$
因此方程$x+p+q\cos x=0$恰有一个实根
罗尔定理
例7：设$a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=0$，求证方程
$$
na_{n}x^{n-1}+(n-a)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_{2}x+a_{1}=0
$$
令
$$
\begin{aligned}
F(x)&=\int na_{n}x^{n-1}+(n-a)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+2a_{2}x+a_{1}\
&=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{2}x^{2}+a_{1}x
\end{aligned}
$$
显然$F(x)$在$[0,1]$连续，$(0,1)$可导
$$
F(0)=0,F(1)=a_{n}+a_{n-1}+\cdots+a_{2}+a_{1}=0
$$
因此存在$\xi\in(0,1)$，使得$f'(\xi)=0$
不等式证明
$$
常用方法\begin{cases}
单调性:f(x)\geq g(x)即证f(x)-g(x)\geq0 \
拉格朗日中值定理常用于两个函数相减 \
最大最小值
\end{cases}
$$
例8：证明：$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,(x>0)$
$$
\ln(1+x)=\ln(1+x)-\ln1=\frac{1}{\xi}x,\xi\in(1,1+x)
$$
有
$$
\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)= \frac{x}{\xi}<x
$$
高等数学两个常用不等式：
$$\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x,(x>0)$$
$$\sin x<x<\tan x,x\in(0,\frac{\pi}{2})$$
中值定理证明题
例9：设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，在$(a,b)$上二阶可导，且$f(a)=f(b)=f(c),(a<c<b)$，证明存在$\xi\in(a,b)$，使$f''(\xi)=0$
存在$\xi_{1}\in(a,c)$，使$f'(\xi_{1})=0$
存在$\xi_{2}\in(c,b)$，使$f'(\xi_{2})=0$
存在$\xi_{}\in(\xi_{1},\xi_{2})$，使$f'(\xi_{})=0$
例10：设不恒为常数的函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，证明在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)>0$
根据题意，存在$c\in(a,b)$，使$f(c)\ne f(a)$，不妨设$f(c)>f(a)$
存在$\xi\in(a,c)$使
$$
f'(\xi)=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}>0
$$
例11：设$f(x)$在$[a,b]$上二阶可导，$f(a)=f(b)=0$且存在$c\in(a,b)$使$f(c)<0$。试证：$\exists \xi \eta\in(a,b),f'(\xi)<0,f''(\eta)>0$
$\exists \xi\in (a,c)$，使得
$$
\frac{f(c)-f(a)}{c-a}=f'(\xi)<0
$$
$\exists\xi\in(c,b)$，使得
$$
\frac{f(b)-f(c)}{b-c}=f'(\xi_{1})>0
$$
$\exists \eta\in(\xi,\xi_{1})$，使得
$$
\frac{f'(\xi_{1})-f(\xi)}{\xi_{1}-\xi}=f''(\eta)>0
$$
例12：设函数$f(x)$在$[0,+\infty)$上可导，且$f(0)=0$，且$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$，证明：
-
存在$a>0$，使得$f(a)=1$
-
存在$\xi\in(0,a)$，使得$f'(\xi)=\frac{1}{a}$
介值定理要求在闭区间连续，开区间内的某个值为介值
若$f(x)$在$[a,b]$上连续，且$f(a)\ne f(b)$，则对$f(a)$于$f(b)$之间任一数$C$，至少存在一个$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=C$
由于$f(x)$可导，则必然连续
又因为$f(0)=0,\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=2$，则存在$b>0$，使得$f(b)>1$
因此存在$a\in(0,b)$，使得$f(a)=1$
第二问可以用拉格朗日中值定理，这里用罗尔定理构造函数的方法
令
$$
F(x)=\int f'(x)- \frac{1}{a}=f(x)- \frac{1}{a}x
$$
显然$F(x)$在$[0,a]$连续，$(0,a)$可导
$$
F(0)=0,F(a)=f(a)-1=0
$$
因此存在$\xi\in(0,a)$，使得$f'(\xi)=\frac{1}{a}$