题目
给定一个按 非递减顺序 排列的数字数组 digits 。你可以用任意次数 digits[i] 来写的数字。例如，如果 digits = ['1','3','5']，我们可以写数字，如 '13', '551', 和 '1351315'。
返回 可以生成的小于或等于给定整数 n 的正整数的个数 。
示例 1：
输入：digits = ["1","3","5","7"], n = 100
输出：20
解释：
可写出的 20 个数字是：
1, 3, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.
示例 2：
输入：digits = ["1","4","9"], n = 1000000000
输出：29523
解释：
我们可以写 3 个一位数字，9 个两位数字，27 个三位数字，
81 个四位数字，243 个五位数字，729 个六位数字，
2187 个七位数字，6561 个八位数字和 19683 个九位数字。
总共，可以使用D中的数字写出 29523 个整数。
示例 3:
输入：digits = ["7"], n = 8
输出：1
提示：
1 <= digits.length <= 9
digits[i].length == 1
digits[i] 是从 '1' 到 '9' 的数
digits 中的所有值都 不同
digits 按 非递减顺序 排列
1 <= n <= 109
题解
数位DP入门题：
题目要求返回通过digits中的数字可以生成的<=正整数 n 的正整数个数
如：digits=["1","3"] n=52 答案是：1,3,11,13,31,3
将digits转化为int数组类型的nums
记nums的长度为M，f(x)为nums能组成的位于[1,x]的数字个数，正整数x的长度为N
我们可以大体将[1,x]的数字分为3个部分：
- 位数小于N的部分，这部分可通过计算得到，设此时数字的位数为k，那么这部分个数为 ∑M^k(k∈[1,N-1])（nums数字可以复用）
- 位数等于N的部分，且最高位比x最高位小，这部分也可通过计算得到，设r为nums在x对应位能取到的数字最大索引
那么x对应位可以取到digits[0,r]，后面任意取都不会超过x，因此这部分个数为 (r+1)*M^(N-p)，其中N-p表示当前位后面还有多少位数
- 位数等于N的部分，且最高位等于x最高位，最高位处保守只能取到digits[0,r-1]，这部分个数为 r*M^(N-p)
还没完，还要累加最高位为digits[r]的情况，这取决于后面数字的贡献数，参考下一位数属于哪种情况
最后答案就是f(n)
JS 实现：
/**
* @param {string[]} digits
* @param {number} n
* @return {number}
*/
var atMostNGivenDigitSet = function(digits, n) {
const s = n + '';
const K = s.length;
const dp = new Array(K+1).fill(0);
dp[K] = 1;
for(let i = K -1; i >= 0; --i) {
let si = s[i];
for(let j=0; j < digits.length; j++) {
if(digits[j] < si) {
dp[i] += Math.pow(digits.length, K-i-1)
} else if(digits[j] == si) {
dp[i] += dp[i+1];
}
}
}
for(let k=1; k< K; ++k) {
dp[0] += Math.pow(digits.length, k)
}
return dp[0]
};
总结
动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。 动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。
