模拟费用流总结

学习自https://www.luogu.com.cn/blog/command-block/mu-ni-fei-yong-liu-xiao-ji

可以系统地解决一系列贪心问题的思想。

操作步骤

首先对于一个问题建立费用流模型，注意这时候可以得到问题的凸性(convexity)，可以用一些其它方法对问题进行简化（如wqs二分），然后观察费用流模型的特殊性，考虑快速算费用流。
一般而言，可以考虑图的增量对答案的贡献，或者按照EK算法以某种顺序求增广路，注意反向边的贡献（比如负环）。一般用堆来维护，也有时候可以直接维护出一些东西然后做。
将费用流模型和原问题结合起来考虑，往往会比较容易得到一些性质。

题意：已知接下来\(n\)天的股票价格，每天你可以买进一股股票，卖出一股股票，或者什么也不做。假设你拥有无限本金，求\(n\)天之后能得到的最大利润。

容易得到费用流模型：相邻点双向\((+\infty,0)\)，源点向每个点\((1,c_i)\)，每个点向终点\((1,-c_i)\)求最小费用可行流。

考虑增量贡献，第一种情况是选择某天买进今天卖出，第二种情况是选择之前卖出的某天换到今天卖出，对应到费用流上就是一条普通的增广路和负环，那么维护一个堆就做完了。

题意：一条直线上\(n\)个坑，可以在坑里面种一棵树，不能在相邻两个坑内种树，每个坑内种树有价值\(a_i\)，求k个点最大价值。

费用流建模就考虑相邻不能同时选的限制，把间隔变成点，分奇数间隔和偶数间隔中间连边，边就是坑，然后中间边就是\((1,a_i)\)，其它边都是\((1,0)\)，流量限制为\(k\)

这样就证明了原问题是关于\(k\)的凸函数，可以wqs二分+dp求解，比较经典。

当然这里讲的是模拟费用流。

考虑模拟EK算法，找增广路。

显然除了源点和汇点连的边，只会经过中间的边，也就是一段连续区间状态取反。

这样的话对应回原问题，两边的两个坑一定是空。那么给我们一个思路：维护两边都是空的区间，每次增广相当于合并三个区间，用双向链表+堆维护即可。

题意：老鼠进洞·壹之中选洞有额外贡献。

费用流建图类似。依旧考虑增量，两种情况：

随便用堆维护一下就好了。

题意：老鼠上树进洞，对所有\(k\)求前\(k\)只老鼠全部进洞最小代价。

建图就是源点向老鼠点连\((1,-\infty)\)，这样所有老鼠必选。

按照询问顺序考虑增量。因为必须满流所以不存在负环，那么只需考虑新的增广路，那么就很简单了，在完全二叉树上维护到当前子树最近的点和距离，然后每次加一只老鼠就跳父亲去找，然后跳父亲更新，由于完全二叉树的优良性质复杂度就是\(O(n \log n)\)的了。

题意：\(n\)对数\((a_i,b_i)\)，\([1,n]\)中选两个大小为\(k\)的集合\(A,B\)，使得\(|A \cap B| = L\)求\(\max\{\sum_{i \in A} a_i + \sum_{i \in B} b_i\}\)。

建图需要稍微思考一下，很难满足\(|A \cap B| = L\)的条件，那么不妨反过来，满足\(A\)和\(B\)不同的对数至多为\(k-L\)。

连边\((S, A_i, 1, a_i), (A_i, B_i, 1, 0), (B_i, T, 1, b_i), (A_i, P, 1, 0), (P, Q, k - L, 0), (Q, B_i, 1, 0)\)。

考虑模拟EK算法，有下列合法情况：

\(S \rightarrow A \rightarrow B\rightarrow T\)
\(S \rightarrow A \rightarrow P \rightarrow A' \rightarrow B' \rightarrow T\)
\(S \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow Q \rightarrow B' \rightarrow T\)
\(S \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow Q \rightarrow P \rightarrow A' \rightarrow B' \rightarrow T\)
\(S \rightarrow A \rightarrow P \rightarrow Q \rightarrow B \rightarrow T\)

事实上还有一类情况形如\(S \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow Q \rightarrow B' \rightarrow A' \rightarrow P \rightarrow A'' \rightarrow B'' ......\)

然而可以发现出现这样情况的前提已经是不优的了，所以可以不用考虑。

剩下就是考虑这\(5\)种情况的实际贡献，就是连着\(S\)和\(T\)的两个点。

于是维护\(5\)个堆即可。

细节：增广优先顺序是\(1 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 5\)，否则会出现其它边没有流满\(L\)且下标相等的数对用了\(P \rightarrow Q\)的情况，这样就不优了。