不同的子序列 II

难度：困难

题目

给定一个字符串 s，计算 s 的 不同非空子序列 的个数。因为结果可能很大，所以返回答案需要对 10^9 + 7 取余 。

字符串的 子序列 是经由原字符串删除一些（也可能不删除）字符但不改变剩余字符相对位置的一个新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的一个子序列，但 "aec" 不是。

示例 1：

输入：s = "abc"
输出：7
解释：7 个不同的子序列分别是 "a", "b", "c", "ab", "ac", "bc", 以及 "abc"。

示例 2：

输入：s = "aba"
输出：6
解释：6 个不同的子序列分别是 "a", "b", "ab", "ba", "aa" 以及 "aba"。

示例 3：

输入：s = "aaa"
输出：3
解释：3 个不同的子序列分别是 "a", "aa" 以及 "aaa"。

提示：

1 <= s.length <= 2000

s 仅由小写英文字母组成

题解

子序列的定义：从原序列中任意选择一些项，保持相对序列不变，得到的就是原序列的子序列

方程状态定义，dp[i]就为到索引为i的文字为止，能生成的子序列的个数

例如：初始状态dp[0] = dp[-1] * 2 + 1; // 非法的值赋为0，所以dp[0] 为1

状态方程推断

如果当前的文字没有出现过，那么当前位置能新生成子序列的个数就为，前一位的个数 + 自己，总数就为 前一位的个数 + 前一位的个数 + 1

dp[I] = dp[i-1] * 2 - 1;

如果当前的文字出现过，自己就不能加进去了，新生成的就为 前一位的个数 + 前一位的个数 - 重复的个数 此时重复的个数是多少呢，是这个文字前一次的位置的【除了自己以外的新生成】，假设这个文字当前的位置是i，上一次位置是j，那么重复的个数为dp[j - 1]

/**
 * @param {string} S
 * @return {number}
 */
var distinctSubseqII = function (S) {
  const dp = [];
  const count = {};
  const MOD = 1000000007;
  let length = S.length;
  for (let i = 0; i < length; i++) {
    const preDp = dp[i - 1] || 0;
    if (typeof count[S[i]] === 'undefined') {
      dp[i] = preDp * 2 + 1;
    } else {
      const prePositionDp = dp[count[S[i]] - 1] || 0;
      dp[i] = preDp * 2 - prePositionDp;
      if (dp[i] < 0) {
        dp[i] += MOD;
      }
    }
    dp[i] %= MOD;
    count[S[i]] = i;
  }
  return dp[S.length - 1];
};

总结

动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的，通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。 动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，动态规划方法所耗时间往往远少于朴素解法。 动态规划背后的基本思想非常简单。